西电信号与系统第二章.ppt

信号与系统第2章连续信号与系统的时域分析
2.1冲激函数及其性质
2.2系统的冲激响应
2.3信号的时域分解和卷积积分
2.4卷积的图解和卷积积分限的确定
2.5卷积积分的性质
2.6卷积的数值计算
习题2

2.1冲激函数及其性质单位冲激函数的严格的数学定义。2.2系统的冲激响应
线性时不变时间系统的单位冲激响应，是指系统初始状态为零，激励为单位冲激信号作用下的响应，简称冲激响应，用h(t)表示。它反映了系统的特性，同时也是利用卷积积分进行系统时域分析的重要基础。
1.对于简单电路，直接计算该电路在单位冲激信号作用下的零状态响应，即可求得冲激响应h(t)。
2.先计算系统的阶跃响应s(t)，然后利用冲激响应和阶跃响应的关系计算冲激响应h(t)。
3.从系统的微分方程求解冲激响应。
2.3信号的时域分解和卷积积分
上一节讨论了系统对于单位冲激信号这一特殊激励下的零状态响应，本节将研究任意波形信号可以分解为连续的冲激信号之和，以及任意信号作用下的零状态响应问题，进而说明卷积积分的物理意义。
2.3.1信号的时域分解
任意波形的信号可以分解为连续的加权冲激信号之和。
任意波形的信号也可以分解为无限多个连续的加权阶跃信号之和。
2.3.2零状态响应---卷积积分
任意波形信号作用于线性系统引起的零状态响应，为
(2.3-10）式（2.3-10）是卷积积分的一般形式，当与受到某种限制时，其积分上、下限会有所变化。
若t<t1时，x(t)=0，式（2.3-10）中的积分下限应从t1开始，式（2.3-10）应表示为
(2.3-12）
相反，若x(t)不受此限，而t<t2时，h(t)=0，积分上限应取t-t2，式（2.3-10）应表示为
（2.3-13）
若t<t1时，x(t)=0，而t<t2时，h(t)=0，式（2.3-10）积分上,下限为
（2.3-14）
更一般的确定卷积积分的积分限的方法将在下一节中进一步进行分析讨论。2.4卷积的图解和卷积积分限的确定
上一节讨论了一般形式的卷积积分，以及x(t)和h(t)均为有始函数时积分上下限的表示方法，但实际上卷积积分限还要根据具体情况来确定，特别是当x(t)和h(t)两者或两者之一是分段定义的函数时，图解能帮助正确地确定卷积积分的上下限。
2.4.1卷积的图解
卷积的图解能够直观地理解卷积积分的计算过程。
卷积的图解归纳起来有下列五个步骤：
1.换元：将和中的变量t更换为变量τ；
2.折叠：作出相对于纵轴的镜象；
3.位移：把平移一个t值；
4.相乘：将位移后的函数乘以；
5.积分：和乘积曲线下的面积即为t时刻的卷积值。由于卷积积分的计算步骤包括换元、折叠、位移、相乘与积分，故卷积也称为褶积或卷乘等。
2.4.2卷积的另一种计算方法
如果x(t)和h(t)两者或两者之一是分段连续的函数时，采用式（2.3-14）进行卷积计算也是一种较为简便的方法。
2.5卷积积分的性质
作为一种数学运算方法，卷积积分具有某些特殊的性质。利用这些性质可使卷积运算大为简化。
2.5.1卷积代数
通常，卷积积分与代数中的乘法运算性质相类似。
（1）卷积运算满足交换律
（2）卷积积分满足分配律
（3）卷积积分满足结合律2.5.2卷积的微分与积分
上述卷积代数运算的规律与普通乘法类似，但卷积的微分或积分运算却与普通两函数的乘积的微分、积分运算不同。
（1）卷积的微分性质
（2）卷积的积分性质
（3）卷积的微积分性质
任意函数x(t)与单位冲激函数(t)卷积的结果仍然是本身，根据式（2.3-3）和卷积的定义，有
（2.5-17）

由此可见任意函数x(t)与一个延迟时间为t1秒的单位冲激函数(t-t1)的卷积，只是使x(t)在时间上延迟了t1，而波形不变。这一性质称为重现特性（replicationproperty）。2.5.4卷积的时移

若，则

(2.5-22)

2.6卷积的数值计算
卷积积分除通过直接积分或查表的方法进行求解外，还可以利用计算机求解，这就是卷积积分的数值计算。