概念及可分离变量的微分方程培训教材.ppt

微分方程的基本概念微分方程理论起始于十七世纪末，是研究自然现象强有力的工具，是数学科学联系实际的主要途径之一。
1676年，莱布尼兹在给Newton（牛顿）的信中首次提到DifferentialEquations（微分方程）这个名词。
微分方程研究领域的代表人物：Bernoulli、Cauchy、Euler、Taylor、Leibniz、Poincare、Liyapunov等。
微分方程理论发展经历了三个过程：求微分方程的解；
定性理论与稳定性理论；微分方程的现代分支理论。引例1.微分方程：含未知函数及其导数的方程常微分方程与偏微分方程(n阶显式微分方程)线性和非线性微分方程（LinearandNonlinear）n阶线性微分方程的一般形式为：使方程成为恒等式的函数.确定通解中任意常数的条件.例1.验证函数积分曲线和积分曲线族(IntegralCurve(s))特解的图象:积分曲线.方向场（DirectionalPattern）方向场:例1画出方程一阶微分方程的初等解法可分离变量微分方程设y＝(x)是方程①的解,例1.求微分方程例2.解初值问题例3.求下列方程的通解和要求的特解:作业例4.设曲线过点解:分离变量，积分得一、齐次方程的解法例1.解微分方程例2.解微分方程1求微分方程满足2求解微分方程例3设有连接点O(0,0)和点A(1,1)的一段向上凸的曲解：设弧的方程为求微分方程满足一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式:齐次方程的通解为：2.线性非齐次方程常数变易法积分得解：例2例3.求方程的通解.例3.求方程的通解.例4如图所示，平行于轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.所求曲线为例5：设曲线上任意一点P(x,y)处的切线与射线OP
以及y轴围成图形的面积是常数a.求曲线的方程.例6：求下列方程的解例6：求下列方程的解例6：求下列方程的解3、设作业