线性规划的常见题型及其解法(教师版-题型全-归纳好)-推荐文档.doc

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课题线性规划的常见题型及其解法答案

线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．
归纳起来常见的命题探究角度有：
1．求线性目标函数的最值．
2．求非线性目标函数的最值．
3．求线性规划中的参数．
4．线性规划的实际应用．
本节主要讲解线性规划的常见基础类题型．

【母题一】已知变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥3，,x－y≥－1，,2x－y≤3，))则目标函数z＝2x＋3y的取值范围为()
A．[7，23] B．[8，23]
C．[7，8] D．[7，25]
求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，通过求直线的截距eq\f(z,b)的最值，间接求出z的最值．
【解析】画出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥3，,x－y≥－1，,2x－y≤3，))表示的平面区域如图中阴影部分所示，

由目标函数z＝2x＋3y得y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(z,3)，平移直线y＝－eq\f(2,3)x知在点B处目标函数取到最小值，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,2x－y＝3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))所以B(2,1)，zmin＝2×2＋3×1＝7，在点A处目标函数取到最大值，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝－1，,2x－y＝3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝5，))所以A(4,5)，zmax＝2×4＋3×5＝23．
【答案】A
【母题二】变量x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1，))
(1)设z＝eq\f(y,2x－1)，求z的最小值；
(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；
(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．
点(x，y)在不等式组表示的平面区域内，eq\f(y,2x－1)＝eq\f(1,2)·eq\f(y－0,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))))表示点(x，y)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))连线的斜率；x2＋y2表示点(x，y)和原点距离的平方；x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2表示点(x，y)和点(－3,2)的距离的平方．
【解析】(1)由约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1，))作出(x，y)的可行域如图所示．
由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,3x＋5y－25＝0，))解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(22,5)))．
由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x－4y＋3＝0，))解得C(1,1)．
由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3＝0，,3x＋5y－25＝0，))解得B(5,2)．
∵z＝eq\f(y,2x－1)＝eq\f(y－0,x－\f(1,2))×eq\f(1,2)
∴z的值即是可行域中的点与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))连线的斜率，观察图形可知zmin＝eq\f(2－0,5－\f(1,2))×eq\f(1,2)＝eq\f(2,9)．
(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．
结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，
dmin＝|OC|＝eq\r(2)，dmax＝|OB|＝eq\r(29)．
∴2≤z≤29．
(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是：
可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．
结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，
dmin＝1－(－3)＝4，
dmax＝eq\r(－3－52＋2－22)＝8