求最值问题的几种方法.doc

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浅谈求最值问题的几种方法
摘要：最值问题综合性强,涉及到中学数学的许多分支,因而这类问题题型广,知识面宽,而且在解法上灵活多样,能较好体现数学思想方法的应用.在历年的高考试题中,既有基础题,也有一些小综合的中档题,更有一些以难题的形式出现.解决这类问题要掌握多方面的知识,综合运用各种数学技巧,灵活选择合理的解题方法,本文就几类最值问题作一探求.
关键词：数学；函数；最值；最大值；最小值
1.常见函数的最值问题.
1.1一次函数的最大值与最小值.
一次函数在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的,但是,如果对自变量的取值范围有所限制时,一次函数就可能有最大值和最小值了.
例1.设且≠1,,(0≤≤1),求的最大值与最小值.
解:可化为：下面对一次项系数分两种情况讨论：
（1）当＞1时，-＞0,于是函数的函数值是随着的增加而增加的,所以
当=0时,取最小值;
当=1时,y取最大值.
（2）当0＜＜1时,,于是函数的函数值是随着的增加而减少的,所以
当=0时,取最大值;
当=1时,取最小值.
例2.已知是非负实数,且满足条件

求的最大值和最小值.
分析：题设条件给出两个方程,三个未知数，当然，的具体数值是不能求出的.但是,我们固定其中一个，不防固定，那么都可以用来表示，于是便是的函数了（需注意的取值范围），从而我们根据已知条件，可求出的最大值与最小值.
1.2二次函数的最大值与最小值
一般地，求二次函数的最大值与最小值，都是根据二次函数的性质和图象来求解，即有：若>0，则当=—时，有最小值为；若<0，则当=—时，有最大值.这里我们给出另一种求二次函数最值的方法——判别式法.
例3.已知1,2是方程(是实数）的两个实数根，求的最大值与最小值.
分析：一般地,二次函数,若方程有实根,其判别式≥0.如果关于的不等式≥0,可以解出的取值范围，便可求出函数的最值，这就是求函数最值的判别式法.
解：由于二次方程有实根，所以
=≥0
解得≤≤
则

由于在上是减函数,可见当时，=有最大值18，当时，=有最小值.
1.3三角函数的最大值与最小值
三角函数的最值问题题型广，涉及的知识面宽，而且在解法上灵活多变，能较好的体现数学思想方法的应用，因而一直是学习中的热点和重点.
例4.已知函数,设，当为何值时，y取得最小值.
解：,

即有
,
当时，取得最小值.
说明：求三角函数的最值时，方法很多，而在代数中求最值的方法均适用，如配方法（注意三角函数的取值范围），换元法（注意换元后的范围），判别法，重要不等式（注意取等号的条件）等等，这里不再赘述，只列举出几种常见的三角函数及最值的求法：
（1）型，利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论.
（2）型，先引进辅助角化成，再利用有界性.
（3）型，配方后求二次函数的最值，须注意的约束.
（4）型，反解出，化归为解决.
(5)型，化归为利用三角函数的有界性求解，或用数形结合法.
(6)型，常用到换元法，令，.
1.4分式函数的最大值与最小值
求分式函数的最大值与最小值问题，常用到的办法是去分母后，化为关于的二次方程，然后用判别式≥0，得出的取值范围，进而求出的最大值和最小值.
例5.求函数的最值.
解：去分母，整理得
当时，这是一个二次方程，因是实数，所以判别式≥0.
即=
解得
当当
由此即知,当时，取最小值-4；
当时，取最大值1.
说明：本题求最值的方法叫判别法，是一种常用的方法，但在用判别法时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的值.
2.一类无理函数的最值问题
无理函数的最值是高中数学教学的一个难点，其形式多样，解法繁杂，学生在解题时常感困惑，下面就研究一类形如的无理函数最值的解法.
例6.求函数的最值，以及取最值时的值.
解法1.利用判别式
显然，两边平方得
移项，平方整理得
由
得
又及
得

当=6时，；当=时，.
解法2.巧用三角变换.
设,
则，.
消去得.
当时，即时，；
当时，即=6时，.
解法3.善用导数.
导数是高中数学中的重要内容，用导数研究函数的性质尤其是函数最值问题成为强有力的手段，要重视导数在解决一些复杂的函数最值上的作用，善于运用它体念它独特的解题魅力，能使问题得到简洁，完美的解决.
对原函数求导可得
令得
又计算端点和导数为零的函数值得
，，.
由此可得当=时，，当=6时，.
3.其它函数的最值问题
处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个最大值或者最小值。
例7.设是正实数，求函数的最小值.
解：先估计的最小值

又当时，.所以的最小值为.
说明：在求最小（大）值，一定要举例说明这个值是能取到的，才能说这就是最小（大）值，否则就不一定对了，例如，本题我们也可以这样