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2009年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（必修+选修Ⅱ）

本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
考生注意：
1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式

如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径
一、选择题
(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中的元素共有（A）
（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个
解：，故选A。也可用摩根律：
（2）已知=2+i,则复数z=（B）
（A）-1+3i(B)1-3i(C)3+i(D)3-i
解：故选B。
(3)不等式＜1的解集为（D）
（A）｛x(B)
（C）(D)
解：验x=-1即可。
(4)设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于(C)
（A）（B）2（C）（D）
解：设切点，则切线的斜率为.由题意有又
解得:.
(5)甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有(D)
（A）150种（B）180种（C）300种(D)345种
解:分两类(1)甲组中选出一名女生有种选法
(2)乙组中选出一名女生有种选法.故共有345种选法.选D
（6）设、、是单位向量，且·＝0，则的最小值为(D)
（A）（B）（C）(D)
解:是单位向量
故选D.
（7）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（D）
（A）（B）（C）(D)
解：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.故选D
（8）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（A）（B）（C）(D)
解:函数的图像关于点中心对称
由此易得.故选A
(9)已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为(B)
(A)1(B)2(C)-1(D)-2
解:设切点，则,又
.故答案选B
（10）已知二面角为，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（C）
(A)(B)2(C)(D)4
解:如图分别作
，连
，
又
当且仅当，即重合时取最小值。故答案选C。
（11）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则(D)
(A)是偶函数(B)是奇函数(C)(D)是奇函数
解:与都是奇函数，，
函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。故选D
12.已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=(A)
(a).(b).2(C).(D).3
解:过点B作于M,并设右准线与x轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.故选A
第II卷
二、填空题：
13.的展开式中，的系数与的系数之和等于。
解:
14.设等差数列的前项和为，若,则=。
解:是等差数列,由,得
.
15.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于。
解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.
16.若，则函数的最大值为。
解:令,

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）
在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且求b
分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1),左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.
解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.
解法二:
由余弦定理得:
.
又,。
所以…………………………………①
又，

，
即
由正弦定理得，
故………………………②
由①，②解得。
评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.