Proakis的数字通信第四版的习题答案(中文版).doc

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学习参考

2.9根据柯西分布有

当很大时，所以有
(b)
当

当，
因此有：
2.10(a)

(b)
(c)因为n→∞,不是高斯分布，因此中心极限定理不适用，原因是柯

西分布没有有限的差异。

2.11假定是实值随机过程。复值过程的处理也类似。
(a)
(b)当x(t),y(t)不相关时，

同理
因此
(3)当x(t),y(t)不相关并且零均值时：

2.12随机过程x(t)的功率谱密度为：

滤波器输出功率谱密度为：
因此滤波器输出总功率为：

2.14

令

因此
2.16滤波器的传递函数为:
(a)

(b)

令a=RC,v=2πf.那么

2.19因为

输出序列的自相关：

这里的最后等式来自于X(n)的自相关函数：

因此

离散时间系统的频率响应为：

综上，系统输出的功率密度谱为：

2.20已知

功率密度谱为：

2.21本题中引用下标d表示离散过程，下标a表示连续时间过程，同样，f表示模拟频率。fd表示离散频率。
(a)

因此取样信号的自相关函数等于X(t)的取样自相关函数。
(b)

令fd=fT，则有：

又因为离散时间的自相关函数是它的功率谱密度的反变换，于是有：

比较(1),(2):得

(c)从(3)式可以得出：

否则出现混叠。
2.22(a)

(b)如果那么：
K=0

其他
因此序列X(n)是白噪声序列，T的最小值可以从下图的取样过程的功率谱密度得到

为了得到一个谱平坦序列，最大的抽样速率应满足：

(c)可由得到。

因此，

2.23假设那么：

这里Y(f)是y(t)的傅里叶变换，因为：

又

有：

当f=0时：

2.24

由于G=1，有

对低通滤波器，可得到：

将H(f)代入可得下式

3.4要证而

利用不等式

当且仅当可得

因为

3.6通过定义，差熵为：

对均匀分布随机变量

(a)a=1,H(X)=0
(b)a=4,H(X)=log4=2log2
(c)a=1/4,H(X)=log=-2log2
3.7(a)

(b)每信源字符的平均二进制个数为：

(c)信源熵为：

通过比较，信源熵要少于每个码字的平均长度。

3.9(a)

(b)

3.11(a)P(x)可以通过求得。
因此

类似地可证明
(b)利用不等式和，可以得到
将不等式两边乘以P(x,y)并对x，y求和，即可得

故有

当=1时取等号。

(c)

从(b)联立两个关系式可得：

当x，y独立取等号。

3.13

对于平稳过程和中n是独立的，因此就有

3.18在给定的下，的条件互信息可定义为：

又

因为有：

3.19假设a>0，已知Y=aX+b是线性变换，

有

令那么

同理，当a<0时，有：

3.20线性变换

因为{yi}和{xi}有相同的概率分布，即有

因此DMS的熵通过线性变换是不产生影响的。
3.21(a)霍夫曼码的设计如下，

平均比特率：

(b)一次编码两个电平符号，霍夫曼码的设计如下：

每电平对的二进制平均比特数为：
一个电平的平均比特数为：

(c)

因为

3.25采用Lempel-Ziv编码方法分解题中序列，可以得到一下码段：
0,00,1,001,000,0001,10,00010,0000,0010,00000,101,00001,000000,11,01,0000000,110,...
码段数是18，对每一码段需要5位加一个附加位来表征一个新的信源输出。

3.27因为可得

下图描述了R(D)在取0，1，2，3时的值，从图中可看出，增加，失真率也在增加。

3.30(a)

由于X,G是相互独立，因此有p(x,g)=p(x)p(g),p(x|g)=p(x).

(b)

因为X,G是相互独立，所以Y也是独立，

由于Y=X+G，有
所以：

这里，利用了

从H(Y),H(Y|X)，

3.31

3.36

3.38一阶预测器系数a11对预测数据的预测误差的正交性可使得均方误差减小：

最小均方误差为：

(b)对二阶预测器，
根据Levinson-Durbin算法

最小均方误差为：

3.39

如果用相同的间隔长度分别量化，所需要的电平数为:
比特数：

利用矢量量化，有，，比特差：

3.41X,Y的联合概率密度函数为：边缘分布P(x)：

当，

当，
的图如下:

根据对称性：

(b)

总的失真为
每对(x,y)所要的比特数