怎样找二面角的平面角.doc

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6.怎样找二面角的平面角
一、当图中明显给出二面角的棱时
1、利用定义
在棱长为1的正方体中，求平面与平面所成的二面角的余弦值。

2、利用三垂线定理和逆定理
当图中给出或能作出二面角的一个面内一点垂直于另一个面的直线时，则可通过垂足（或这点）作棱的垂线，连结所得垂足与前平面内的点（或前垂足），根据三垂线定理或其逆定理就可得出二面角的平面角。
在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。

3、借助垂直平面
通过作两个平面的公垂面得到交线，这时棱与公垂面垂直，从而两交线所成的角就是二面角的平面角
设在棱形ABCD中，PA⊥平面ABCD，且，求二面角B-PC-D的大小。

二、当图中未给出二面角的棱时
一、若给出了两个平面的公共点
①若能找到分别含在两个平面内的互相平行的直线，则可通过两个平面的公共点作上述两直线的平行线，此直线即为二面角的棱。从而转化为给出棱时的二面角的问题。
过正方形ABCD的顶点A，作线段PA平面ABCD，若PA=AB。求平面ABP和平面CDP所成的二面角。

②若在二面角的两个面内找不到含在两个面内的两平行直线，可设法找这两个平面的另一个公共点。可分别在两个平面内找能相交于另一点的直线，这两条直线的交点与前一个公共点的连线即为二面角的棱。从而转化为给出二面角的棱时的二面角的问题。
已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1，CC1上分别有点D,E使EC=BC=2DB
求截面ADE与底面ABC所成的二面角的大小。

③补形法，其目的是使补形后两个平面有公共交线
在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

④借助垂直平面
在ABC中，ADBC于D。E是线段AD上的一点，且AE=ED，过E作MN//BC，且MN交AB于M，交AC于N。以MN为棱将ABC折成二面角A1-MN-D。设此二面角为（0<<）。连A1B,A1D,A1C。求A1MN与A1BC所成二面角的余弦。

二、图中没有给出二面角的公共点时
①.借助同位二面角或内错二面角
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设MAA1，且A1M:MA=3:1。求截面B1D1M与底面ABCD所成锐二面角的正切。

②.借助垂直平面
设E，F，G为正方体ABCD-A1B1C1D1所在的棱B1C1，CC1，C1D1的中点。求平面EFG与底面ABCD所成锐二面角的余弦。

(3)求二面角的通用方法
设平面M与平面N所成的锐二面角为，一封闭曲线C在平面M内。它在平面N上的射影为曲线C1，若曲线C，C1所围成的面积分别是S原形，S射影。则S射影=S原形cos。该办法只解用于解选择题或填空题。
1．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，取CC1的中点E，求平面DEB1与底面A1B1C1D1所成二面角的余弦

2．设正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AA1上点，A1M:MA=3:1,求截面B1D1M与底面ABCD所成二面角。

3.设三角形ABC的边长为a，点A在平面α内，AB与平面α所成的角为，AC与平面α所成的角的正弦为，求平面ABC和平面α所成的二面角。

4．设正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为DD1,A1D1的中点，作截面EFB1C，令二面角E-B1C-C1的大小为θ，求cosθ的值.