《理论力学》习题解.doc

《理论力学》题解
1-3已知曲柄,以匀角速度绕定点O转动,此曲柄借连杆AB使滑动B沿直线运动.设,,.求连杆上C点的轨道方程及速度.
解:设C点的坐标为,则

联立上面三式消去得

整理得轨道方程

设C点的速度为,即

考虑A点的速度
得
所以

1-4细杆OL绕O点以匀角速度转动,并推动小环C在固定的钢丝AB上滑动,图中的为一已知常数.试求小环的速度及加速度
解:小环C的位置由坐标确定

解法二:
设为小环相对于AB的速度,为小环相对于OL的速度,为小环相绕O点转动的速度,则
又设OL从竖直位置转过了角,则
,

所以,小环相对于AB的速度为,方向沿AB向右.
沿滑杆OM滑动的速度为，方向沿OM杆向上。
求加速度用极坐标
横向加速度

第一章第五节例题一
解：坐标向上为正时，速度也向上为正，而实际速度向下，则有阻力，动力学方程，满足初始条件的解为

坐标向下为正时，速度也向下为正，实际速度向下，则有阻力，动力学方程，满足初始条件的解为
（）
可以看出
第一章第五节例题二
解：双曲正切函数，双曲余弦函数
反双曲正切函数（）

1-10一质点沿着抛物线运动.其切向加速度的量值为法向加速度量值的倍.如此质点从正焦玄()的一端以速度出发,试求其达到正焦玄另一端时的速率.

解:设条件为
,,
上面三式联立得

两边积分,
由可得
在正焦玄两端点和处,,.可看出,两点处抛物线得切线斜率互为倒数,即,代入得

1-15当一轮船在雨中航行时,它的雨蓬遮住篷的垂直投影后的甲板,蓬高.但当轮船停航时,甲板上干湿两部分的分界线却在蓬前,如果雨点的速率为,求轮船的速率.
解:设相对于岸的速度为,雨相对于岸的速度为,雨相对于船的速度为则

速度三角形与三角形ABC相似,得

所以

方程的解
解:作变换,原方程变为
设,,,则
实根
两个虚根:,
对于该题,只取实根.

1-38已知作用在质点上的力为,,
其中都是常数,问这些应满足什么条件才有势能存在?如果这些条件满足,试求其势能.
解:由得:

1-39一质点受一与距离3/2次方成反比得引力作用在一条直线上运动,试证该质点自无穷远到达时的速度和自静止出发到达时的速率相同.
解:依题意有,两边积分
,
再积分,
可知

1-43如果质点受有心力作用而作双纽线的运动时，则

试证明之。

解：比耐公式
而代入得

1-44质点所受的有心力如果为

式中，及都是常数，并且，则其轨道方程可写成。试证明之。式中，，（A为积分常数）。
解：比耐公式将F代入得
，式中
其解为

式中，
将基准线转动一角度，可使得

2-1求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为，所对的圆心角为。并证明半圆片的质心的距离为
解：取对称轴为轴，则质心比在对称轴上。设密度为

对于半圆片，取，
或者直接积分

2-2如自半径为为的球上，用一与球心相距为的平面，切出一球形帽，求此球形帽的质心。
解：方法一
球形帽可看作由许多圆薄片沿Z轴叠成，其质心坐标

方法二
取任一垂直于OZ轴的两平面来截球冠，截得一微圆球台近似地等于圆柱。

2-3重为的人，手里拿着一个重为的物体。此人用与地平线成角的速度向前跳去。当他达到最高点时，将物体以相对速度水平向后抛出。问：由于物体的抛出，跳的距离增加了多少？
解：选人与重物组成一个系统，此系统在水平方向无外力作用，水平方向动量应守恒。人在抛出重物以前，水平速度为，在最高点抛出重物之后，其水平速度变为，则

人抛出重物后，做以为初速的平抛运动，比不抛重物落地点要远，增加的距离

两式联立得
讨论：
若抛出物体时速度是相对人后来的速度即，则上面第一个方程变为

结果是
一个例子：人重60公斤，物重2公斤，起跳速度，抛物速度，则

2-13长为的均匀细链条伸直地平放在水平光滑桌面上，其方向与桌边沿垂直，此时链条的一半从桌上下垂。起始时，整个链条是静止的。试用两种不同的方法，求此链条的末端滑到桌子的边沿时，链条的速度。
解：【方法一】
设链条的线密度为，则时刻下落的链条质量为，此时链条所受的重力为，根据牛顿第二定律有

作变换代入上式

两边积分，
【方法二】
设链条的线密度为，当链条往下移，重力做的功为

，

2—16雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比例，求雨滴速度与时间的关系。
解：变质量动力学方程

设水蒸气凝结在雨滴上之前在空气中的速度，代入上式得

设雨滴半径的增长率为，，式中为时雨滴的半径，雨滴的质量
，式中为密度

其解
设时，的

问题：轴为竖直而定点在下的抛物线形金属丝，以匀角速度绕轴转动。一质量为的小环套在此金属丝上，并可沿金属丝滑动。是研究其运动。

抛物线方程
建立动参考系，则
动能
势能
运动微分方程
对上式积分一次
再积分一