自己编写算法的功率谱密度的三种matlab实现方法.doc

功率谱密度的三种matlab实现方法

一：实验目的：(1)掌握三种算法的概念、应用及特点；
(2)了解谱估计在信号分析中的作用；
(3)能够利用burg法对信号作谱估计，对信号的特点加以分析。
二;实验内容：
简单说明三种方法的原理。
用三种方法编写程序，在matlab中实现。
将计算结果表示成图形的形式，给出三种情况的功率谱图。
比较三种方法的特性。
写出自己的心得体会。
三：实验原理：
1.周期图法：
周期图法又称直接法。它是从随机信号x(n)中截取N长的一段，把它视为能量有限x(n)真实功率谱的估计的抽样.
认为随机序列是广义平稳且各态遍历的，可以用其一个样本x(n)中的一段来估计该随机序列的功率谱。这当然必然带来误差。由于对采用DFT，就默认在时域是周期的，以及在频域是周期的。这种方法把随机序列样本x(n)看成是截得一段的周期延拓，这也就是周期图法这个名字的来历。
相关法（间接法):
这种方法以相关函数为媒介来计算功率谱，所以又叫间接法。这种方法的具体步骤是：
第一步：从无限长随机序列x(n)中截取长度N的有限长序列列
第二步：由N长序列求（2M-1）点的自相关函数序列。
(2-1)这里，m=-(M-1)…,-1,0,1…,M-1，MN，是双边序列，但是由自相关函数的偶对称性式，只要求出m=0,。。。,M-1的傅里叶变换，另一半也就知道了。
第三步：由相关函数的傅式变换求功率谱。即
以上过程中经历了两次截断，一次是将x(n)截成N长，称为加数据窗，一次是将x(n)截成（2M-1）长，称为加延迟窗。因此所得的功率谱仅是近似值，也叫谱估计，式中的代表估值。一般取M<<N，因为只有当M较小时，序列傅式变换的点数才较小，功率谱的计算量才不至于大到难以实现，而且谱估计质量也较好。因此，在FFT问世之前，相关法是最常用的谱估计方法。
三：Burg法：
AR模型功率谱估计又称为自回归模型，它是一个全极点的模型，要利用AR模型进行功率谱估计须通过levinson_dubin递推算法由
Yule-Walker方程求得AR的参数:σ2，α1α2…αp。
计算中，预测系数必须满足Lenvinson-Durbin递推关系，并且可直接计算而无需首先计算自相关系数。这种方法的优点就是对未知数据不需要做任何假设，估计精度较高。其缺点是在分析噪声中的正弦信号时，会引起谱线分裂，且谱峰的位置和正弦信号的相位有很大的关系。
Burg算法是使前向预测误差和后向预测误差均方误差之和最小来求取Km的，它不对已知数据段之外的数据做认为假设。计算m阶预测误差的递推表示公式如下：

求取反射系数的公式如下：

对于平稳随机过程，可以用时间平均代替集合平均，因此上式可写成：

这样便可求得AR模型的反射系数。
将m阶AR模型的反射系数和m-1阶AR模型的系数代入到Levinson关系式中，可以求得AR模型其他的p-1个参数。
Levinson关系式如下：

m阶AR模型的第m+1个参数G，其中是预测误差功率，可由递推公式求得。
易知为进行该式的递推，必须知道0阶AR模型误差功率，

可知该式由给定序列易于求得。完成上述过程，即最终求得了表征该随机信号的AR模型的p+1个参数。然后根据

即可求得该随机信号的功率谱密度。

实验内容：
实验程序及实验图像
周期法：
Fs=1000;
nfft=10000;%2^n
n=0:Fs;
x=sin(2*pi*0.2*n)+sqrt(2)*sin(2*pi*0.213*n)+randn(size(n));
X=fft(x,nfft);
Pxx=abs(X).^2/length(n);%求解PSD
t=0:round(nfft/2-1);
f=t/nfft;
P=10*log10(Pxx(t+1));%纵坐标的单位为dB
plot(f,P);
gridon

nfft=200

nfft=1024

nfft=10000
相关法：
clear;
Fs=1000;%采样频率
n=0:Fs;%产生含有噪声的序列
nfft=1024;
xn=sin(2*pi*0.2*n)+sqrt(2)*sin(2*pi*0.213*n)+randn(size(n));
cxn=xcorr(xn,'unbiased');%计算序列的自相关函数
CXk=fft(cxn,nfft);%求出功率谱密度
Pxx=abs(CXk);
index=0:round(nfft/2-1);
f=index/nfft;
plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1));
plot(f,plot_Pxx);
xlabel('频率');
ylabel('功率/DB');
gridon;

nfft=256

nfft