(经典)正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明(2).doc

正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法
——王彦文青铜峡一中
1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
主要考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转化的数学思想．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现．

1．正弦定理
(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即．其中R是三角形外接圆的半径．
(2)正弦定理的其他形式：
①a＝2RsinA，b＝，c＝；
②sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝，
sinC＝；
③a∶b∶c＝______________________.
2．余弦定理
(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
a2＝，b2＝，
c2＝.
若令C＝90°，则c2＝，即为勾股定理．
(2)余弦定理的变形：cosA＝，cosB＝，cosC＝.
若C为锐角，则cosC>0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cosC<0，即a2＋b2______c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角．
(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA，类似地，sin2B＝____________；sin2C＝__________________.注意式中隐含条件A＋B＋C＝π.
3．解斜三角形的类型
(1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理．只有一解．
(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用____________定理，可能有___________________．如在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如表：
A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数①②③④(3)已知三边，用____________定理．有解时，只有一解．
(4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解．
4．三角形中的常用公式或变式
(1)三角形面积公式S△＝＝＝____________＝____________＝____________．其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半径．
(2)A＋B＋C＝π，则A＝__________，
eq\f(A,2)＝__________，从而sinA＝____________，
cosA＝____________，tanA＝____________；
sineq\f(A,2)＝__________，coseq\f(A,2)＝__________，
taneq\f(A,2)＝________.tanA＋tanB＋tanC＝__________.
(3)若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b＝____________⇔2sinB＝____________⇔2sineq\f(B,2)＝coseq\f(A－C,2)⇔2coseq\f(A＋C,2)＝coseq\f(A－C,2)⇔taneq\f(A,2)taneq\f(C,2)＝eq\f(1,3).

【自查自纠】
1．(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R
(2)①2RsinB2RsinC②eq\f(b,2R)eq\f(c,2R)
③sinA∶sinB∶sinC
2．(1)b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosB
a2＋b2－2abcosCa2＋b2
(2)eq\f(b2＋c2－a2,2bc)eq\f(c2＋a2－b2,2ca)eq\f(a2＋b2－c2,2ab)><
(3)互化sin2C＋sin2A－2sinCsinAcosB
sin2A＋sin2B－2sinAsinBcosC
3．(1)正弦(2)正弦一解、两解或无解
①一解 ②二解③一解④一解
(3)余弦(4)余弦
4．(1)eq\f(1,2)absinCeq\f(1,2)bcsinAeq\f(1,2)acsinBeq\f(abc,4R)eq\f(1,2)(a＋b＋c)r
(2)π－(B＋C)eq\f(π,2)－eq\f(B＋C,2)
sin(B＋C)－cos(B＋C)
－tan(B＋C)coseq\f(B＋C,2)sineq\f(B＋C,2)eq\f(1,tan\f(B