数学分析知识点最全汇总.doc

第一章实数集与函数
§1实数
授课章节：第一章实数集与函数——§1实数
教学目的：使学生掌握实数的基本性质．
教学重点：
(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；
(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）
教学难点：实数集的概念及其应用．
教学方法：讲授．（部分内容自学）
教学程序：
引言
上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．
[问题]为什么从“实数”开始．
答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．
一、实数及其性质
1、实数
．
[问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：
对于正有限小数其中，记；对于正整数则记；对于负有限小数（包括负整数），则先将表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．0表示为
0＝
例：；

利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？
2、两实数大小的比较
1）定义1给定两个非负实数，.其中为非负整数，为整数，．若有，则称与相等，记为；若或存在非负整数，使得，而，则称大于或小于，分别记为或．对于负实数、，若按上述规定分别有或，则分别称为与（或）．
规定：任何非负实数大于任何负实数．
实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．
定义2（不足近似与过剩近似）：为非负实数，称有理数为实数的位不足近似；称为实数的位过剩近似，.
对于负实数，其位不足近似；位过剩近似.
注：实数的不足近似当增大时不减，即有；过剩近似当n增大时不增，即有．
命题：记，为两个实数，则的等价条件是：存在非负整数n，使（其中为的位不足近似，为的位过剩近似）．
命题应用
例1．设为实数，，证明存在有理数，满足．
证明：由，知：存在非负整数n，使得．令，则r为有理数，且
．即．
3、实数常用性质（详见附录Ⅱ．）．
1）封闭性（实数集对）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数．
2）有序性：，关系，三者必居其一，也只居其一.
3）传递性：，．
4）阿基米德性：使得．
5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．
6）一一对应关系：实数集与数轴上的点有着一一对应关系．
例2．设，证明：若对任何正数，有，则．
（提示：反证法．利用“有序性”，取）
二、绝对值与不等式
1、绝对值的定义
实数的绝对值的定义为．
2、几何意义
从数轴看，数的绝对值就是点到原点的距离．表示就是数轴上点与之间的距离．
3、性质
1）（非负性）；
2）；
3），；
4）对任何有（三角不等式）；
5）；
6）（）．
三、几个重要不等式
1、
2、均值不等式:对记
(算术平均值)
(几何平均值)
(调和平均值)
有平均值不等式:即：

等号当且仅当时成立.
3、Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)
有不等式
当且,且时,有严格不等式
证：由且

4、利用二项展开式得到的不等式:对由二项展开式

有上式右端任何一项.
［练习］P4．5
［课堂小结］：实数：.
[作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3

§2数集和确界原理
授课章节：第一章实数集与函数——§2数集和确界原理
教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.
教学要求：
(1)掌握邻域的概念；
(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.
教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.
教学难点：确界的定义及其应用.
教学方法：讲授为主.
教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.
引言
上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§1实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！
1、证明：对任何有：(1)；(2).
（）
（）
2、证明：.
3、设，证明：若对任何正数有，则.
4、设，证明：存在有理数满足.
[引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具.
本节