平面向量知识点总结(2).doc

平面向量基础知识复习

平面向量知识点小结
一、向量的基本概念
1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.
注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.
举例1已知，，则把向量按向量平移后得到的向量是_____.结果：
2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，规定：零向量的方向是任意的；
3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）；
4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，
规定：零向量和任何向量平行.
注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！（因为有)；
④三点共线共线.
6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量记作.
举例2如下列命题：（1）若，则.
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.
（3）若，则是平行四边形.
（4）若是平行四边形，则.
（5）若，，则.
（6）若，则.其中正确的是.结果：（4）（5）
二、向量的表示方法
1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；
2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；
3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示.
结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.
三、平面向量的基本定理
定理设同一平面内的一组基底向量，是该平面内任一向量，则存在唯一实数对，使.
（1）定理核心：；（2）从左向右看，是对向量的分解，且表达式唯一；反之，是对向量的合成.
（3）向量的正交分解：当时，就说为对向量的正交分解．
举例3（1）若，，，则.结果：.
（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是B
A.，B.，C.，D.，
（3）已知分别是的边，上的中线,且，,则可用向量表示为.结果：.
（4）已知中，点在边上，且，，则的值是.结果：0.
四、实数与向量的积
实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：
（1）模：；
（2）方向：当时，的方向与的方向相同，当时，的方向与的方向相反，当时，，
注意：.
五、平面向量的数量积
1.两个向量的夹角：对于非零向量，，作，，则把称为向量，的夹角.
当时，，同向；当时，，反向；当时，，垂直.
2.平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即.
规定：零向量与任一向量的数量积是0.
注：数量积是一个实数，不再是一个向量.
举例4（1）中，，，，则_________.结果：.
（2）已知，，，，与的夹角为，则____.结果：1.
（3）已知，，，则____.结果：.
（4）已知是两个非零向量，且，则与的夹角为____.结果：.
3.向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于0.
举例5已知，，且，则向量在向量上的投影为______.结果：.
4.的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积.
5.向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：
（1）；
（2）当、同向时，，特别地，；
是、同向的充要分条件；
当、反向时，，是、反向的充要分条件；
当为锐角时，，且、不同向，是为锐角的必要不充分条件；
当为钝角时，，且、不反向；是为钝角的必要不充分条件.
（3）非零向量，夹角的计算公式：；④.
举例6（1）已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______.结果：或且；
（2）已知的面积为，且，若，则，夹角的取值范围是_________.结果：；
（3）已知，，且满足（其中）.
①用表示；②求的最小值，并求此时与的夹角的大小.结果：①；②最小值为，.
六、向量的运算
1.几何运算
（1）向量加法
运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.
运算形式：若，，则向量叫做与的和，即；
作图：略.
注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.
（2）向量的减法
运算法则：三角形法则.
运算形式：若，，则，即由减向量的终点指向被减向量的终点.
作图：略.
注：减向量与被减向量的起点相同.
举例7（1）化简：①；②；③.结果：①；②；③；
（2）若正方形的边长为1，，，，则.结果：；
（3）若是所在平面内一点，且满足，则的形状为.结果：直角三角形；
（4）若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为.结果：2；
（5）若点是的外心，且，则的内角为.结