导数与函数极值、最值问题(解析版).doc

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【高考地位】
导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大.
【方法点评】
类型一利用导数研究函数的极值
使用情景：一般函数类型
解题模板：第一步计算函数的定义域并求出函数的导函数；
第二步求方程的根；
第三步判断在方程的根的左、右两侧值的符号；
第四步利用结论写出极值.
例1已知函数，求函数的极值.
【答案】极小值为，无极大值.
【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数的增减性，进而求出函数的极大值和极小值．
【变式演练1】已知函数在处有极值10，则等于（）
A．11或18B．11C．18D．17或18
【答案】C
【解读】
试卷分析：,或．当时,在处不存在极值．当时，，；,符合题意．所以．．故选C．
考点：函数的单调性与极值．
【变式演练2】设函数，若是的极大值点，则的取值范围为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解读】
考点：函数的极值．
【变式演练3】函数在上无极值，则_____.
【答案】
【解读】
试卷分析：因为，
所以，由得或，又因为函数在上无极值，而，所以只有，时，在上单调，才合题意，故答案为.
考点：1、利用导数研究函数的极值；2、利用导数研究函数的单调性.
【变式演练4】已知等比数列的前项和为，则的极大值为（）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【解读】
考点：1、等比数列的性质；2、利用导数研究函数的单调性及极值．
【变式演练5】设函数有两个不同的极值点，，且对不等式恒成立，则实数的取值范围是．
【答案】
【解读】
试卷分析：因为,故得不等式,即,
由于,令得方程,因,故，代入前面不等式,并化简得,解不等式得或，因此,当或时,不等式成立,故答案为.
考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.
【变式演练6】已知函数的极大值点和极小值点都在区间内,则实数的取值范围是．
【答案】
【解读】

考点：导数与极值．
类型二求函数在闭区间上的最值
使用情景：一般函数类型
解题模板：第一步求出函数在开区间内所有极值点；
第二步计算函数在极值点和端点的函数值；
第三步比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
例2若函数，在点处的斜率为．
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解读】
试卷分析：（1）由解之即可；
（2）为递增函数且,所以在区间上存在使，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，求之即可.
试卷解读：（1），∴，即，解得；
实数的值为1；
（2）为递增函数，∴，
存在，使得，所以，
，∴
考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、最值.
【名师点睛】本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、最值等问题，属中档题；导数的几何意义是拇年高考的必考内容，考查题型有选择题、填空题，也常出现在解答题的第（1）问中，难度偏小，属中低档题，常有以下几个命题角度：已知切点求切线方程、已知切线方程（或斜率）求切点或曲线方程、已知曲线求切线倾斜角的范围.
【变式演练7】已知.
（1）求函数最值；
（2）若，求证：.
【答案】（1）取最大值，无最小值；（2）详见解读.
【解读】
试卷解读：（1）对求导可得，
令得x=0.
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
当x=0时，取最大值，无最小值.
（2）不妨设，由（1）得
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
若，则，

考点：1.导数与函数的最值；2.导数与不等式的证明.
【变式演练7】已知函数，.
（Ⅰ）求函数在上的最小值；
（Ⅱ）若函数有两个不同的极值点且，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解读】
试卷分析：（Ⅰ）由，得极值点为，分情况讨论及时，函数的最小值；（Ⅱ）当函数有两个不同的极值点，即有两个不同的实根，问题等价于直线与函数的图象有两个不同的交点，由单调性结合函数图象可知当时，存在，且的值随着的增大而增大，而当时，由题意，代入上述方程可得，此时实数的取值范围为.
试卷解读：（Ⅰ）由，可得，
①时，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在上的最小值为，
②当时，在上单调递增，
，
；

两式相减可得
代入上述方程可得，
此时，
所以，实数的取值范围为；

考点：导数的应用．
【变式演练8】设函数.
（1）已知函数,求的极值；
（2）已知函数,若存在实数,使得当时,函数的最大值为,求实数的取