最全“将军饮马”类问题(类型大全+分类汇编)-推荐文档.doc

最全“将军饮马”类问题(类型大全+分类汇编)

1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。

2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。

3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小

4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的周长最小。

5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线OM上作点P，使PA与点P到射线ON的距离之和最小

6..如图，点A是∠MON内的一点，在射线OM上作点P，使PA与点P到射线ON的距离之和最小

二、常见题型
三角形问题
1．如图，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，若AE=2，求EM+EC的最小值
A
M
E
H
解：∵点C关于直线AD的对称点是点B， A
E
M
∴连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小，
过点B作BH⊥AC于点H，
则EH=AH–AE=3–2=1，

BH= BC2-CH2= 62-32=33

在直角△BHE中，BE= BH2+HE2 B
= (33)2+12=27
D C B D C

2．如图，在锐角△ABC中，AB=42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，

则BM+MN的最小值是 ．

解：作点B关于AD的对称点B'，
过点B'作B'E⊥AB于点E，交AD于点F，则线段B'E的长就是BM＋ＭＮ的最小值在等腰Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E=4

C
B'

MF D

A NE B

3．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值

C
M
30°
解：作AB关于AC的对称线段AB'，
过点B'作B'N⊥AB，垂足为N，交AC于点M，则B'N=MB'+MN=MB+MN
B'N的长就是MB+MN的最小值
则∠B'AN=2∠BAC=60°，AB'=AB=2，
∠ANB'=90°，∠B'=30°。
∴AN=1
在直角△AB'N中，根据勾股定理B'N= 3
A
N 2 B

M

30°
B'

C

A
N 2 B

正方形问题
1．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，丐DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为 _。
N
即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小 A D

解：故作点D关于AC的对称点B，连接BM，
交AC于点N。则DN＋ＭＮ＝BN＋ＭＮ＝ＢＭ M
线段ＢＭ的长就是DN＋ＭＮ的最小值在直角△ＢＣＭ中，ＣＭ＝６，ＢＣ＝８，则ＢＭ＝１０
故DN＋ＭＮ的最小值是１０ B C

2．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（ ）

E
P
A．23 B．26 C．3 D．6 A D

解：即在AC上求一点P，使PE+PD的值最小
点D关于直线AC的对称点是点B，
连接BE交AC于点P，则BE=PB+PE=PD+PE，

BE的长就是PD+PE的最小值BE=AB=23 B C

3．在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的

最小值为 _㎝（结果不取近似值）.解：在AC上求一点P，使PB+PQ的值最小
∵点B关于AC的对称点是D点，
∴连接DQ，与AC的交点P就是满足条件的点DQ=PD+PQ=PB+PQ
故DQ的长就是PB+PQ的最小值
在直角△CDQ中，CQ=1，CD=2根据勾股定理，得，DQ= 5

D

P

Q C

4．如图，四边形ABCD是正方形，AB=10cm，E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；

解：连接AE，交BD于点P，则AE就是PE+PC的最小值
D
在直角△ABE中，求得AE的长为55

E C

矩形问题
1．如图，若四边形ABCD是矩形，AB=10cm，BC=20cm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PD的最小值；
C'
H
P
解：作点C关于BD的对称点C'，过点C'，
作C'B⊥BC，交BD于点P，则C'E就是PE+PC的最小值
20 A D
直角△BCD中，CH=
5

直角△BCH中，BH=85

△BCC'的面积为：BH×CH=160
∴C'E×BC=2×160 则CE'=16
B E C

菱形问题
1．如图，若四边形ABCD是