等差等比数列知识点梳理及经典例题.doc

数列知识点梳理及经典习题出题人：李老师

A、等差数列知识点及经典例题
一、数列
由与的关系求
由求时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为。
〖例〗根据下列条件，确定数列的通项公式。

分析：（1）可用构造等比数列法求解；
（2）可转化后利用累乘法求解；
（3）将无理问题有理化，而后利用与的关系求解。
解答：（1）

（2）
……累乘可得，故
（3）

二、等差数列及其前n项和
（一）等差数列的判定
1、等差数列的判定通常有两种方法：
第一种是利用定义，，第二种是利用等差中项，即。
2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。
（1）通项法：若数列{}的通项公式为n的一次函数，即=An+B,则{}是等差数列；
（2）前n项和法：若数列{}的前n项和是的形式（A，B是常数），则{}是等差数列。
注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例〗已知数列{}的前n项和为，且满足
（1）求证：{}是等差数列；
（2）求的表达式。
分析：（1）与的关系结论；
（2）由的关系式的关系式
解答：（1）等式两边同除以得-+2=0，即-=2（n≥2）.∴{}是以==2为首项，以2为公差的等差数列。
（2）由（1）知=+（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴=,当n≥2时，=2·=。又∵，不适合上式，故。
【例】已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1.其前n项和Sn满足2Sn＝2paeq\o\al(2,n)＋an－p(p∈R)，则{an}的通项公式为________．
∵a1＝1，∴2a1＝2paeq\o\al(2,1)＋a1－p，
即2＝2p＋1－p，得p＝1.
于是2Sn＝2aeq\o\al(2,n)＋an－1.
当n≥2时，有2Sn－1＝2aeq\o\al(2,n－1)＋an－1－1，两式相减，得2an＝2aeq\o\al(2,n)－2aeq\o\al(2,n－1)＋an－an－1，整理，得2(an＋an－1)·(an－an－1－eq\f(1,2))＝0.
又∵an>0，∴an－an－1＝eq\f(1,2)，于是{an}是等差数列，故an＝1＋(n－1)·eq\f(1,2)＝eq\f(n＋1,2).
（二）等差数列的基本运算
1、等差数列的通项公式=+（n-1）d及前n项和公式，共涉及五个量，，d,n,,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。
注：因为，故数列{}是等差数列。
〖例〗已知数列{}的首项=3，通项，且，，成等差数列。求：
（1）的值；
（2）数列{}的前n项和的公式。
分析：（1）由=3与，，成等差数列列出方程组即可求出；（2）通过利用条件分成两个可求和的数列分别求和。
解答：（1）由=3得……………………………………①
又，得…………………②
由①②联立得。
（2）由（1）得，

（三）等差数列的性质
1、等差数列的单调性：
等差数列公差为d，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。
★2、等差数列的简单性质：略
典型例题
1．等差数列中,若，则225；
2.（厦门）在等差数列中，,则其前9项的和S9等于（A）
A．18B27C36D9
3、（全国卷Ⅰ理）设等差数列的前项和为，若,则=24
4、等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为(C)
(A)130(B)170(C)210(D)160
5.(湖北卷)已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（D）
A．2B．3C．4D．5
6、在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项an＝________.
由an＋1＝2an＋3，则有an＋1＋3＝2(an＋3)，
即eq\f(an＋1＋3,an＋3)＝2.
所以数列{an＋3}是以a1＋3为首项、公比为2的等比数列，即an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－3.
7、已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为eq\f(1,4)的等差数列，则|m－n|的值等于________．
如图所示，易知抛物线y＝x2－2x＋m与y＝x2－2x＋n有相同的对称轴x＝1，它们与x轴的四个交点依次为A、B、C、D.
因为xA＝eq\f(1,4)，则xD＝eq\f(7,4).
又|AB|＝|BC|＝|CD|，所以xB＝eq\f(3,4)，xC＝eq