两角和与差的正弦、余弦和正切公式--知识点与题型归纳(良心出品必属).doc

●高考明方向
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2.能利用两角差的余弦公式
推导出两角差的正弦、正切公式．
3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、
正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，
了解它们的内在联系.

★备考知考情
1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
进行化简、求值是高考考查的热点．
2.常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结合
命题．
3.题型以选择题、填空题为主，属中低档题.

一、知识梳理《名师一号》P52
知识点
1、（补充）两角差的余弦公式的推导
利用向量的数量积推导----必修4课本P125

2、（补充）公式之间的关系及导出过程

3、和、差、倍角公式《名师一号》P52

注意：
《名师一号》P53问题探究问题1
两角和与差的正切公式对任意角α，β都成立吗？
其适用条件是什么？
在公式T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即保证tanα，tanβ，tan(α＋β)都有意义；
若α，β中有一角是kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可利用诱导公式化简．

小结：
一、公式的逆用与变形运用
《名师一号》P53知识点二2
(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；
(2)cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；
(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2；
(4)sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).

二、三角恒等变换须关注以下三方面
《名师一号》P53问题探究问题2
(补充)
1、角：
角的变换：注意拆角、拼角技巧
如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，(α＋β)＋(α－β)＝2α，
β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)，eq\f(α－β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))，75°＝45°＋30°等
注意倍角的相对性：
如α是的二倍角等；3α是的二倍角等；
2、函数名：
异名化同名---正余互化，切化弦，弦化切
正余互化（利用诱导公式、平方关系）
切化弦，弦化切（利用、
）等；
3、式子结构：
（1）的变换
（注意，）、
（2）幂的变换
（升幂角减半；
降幂角加倍）、
（3）合一变换（）
-----《名师一号》P53知识点三

要时时关注角的范围的讨论！

二、例题分析：
（一）公式的直接应用
例1．（1）《名师一号》P53对点自测1、2、3、4
cos33°cos87°＋sin33°cos177°的值为()
A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)

解析cos33°cos87°＋sin33°cos177°
＝cos33°sin3°－sin33°cos3°＝sin(3°－33°)
＝－sin30°＝－eq\f(1,2).
2．若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))
＝()
A．－eq\f(7\r(2),10)B.eq\f(7\r(2),10)C．－eq\f(\r(2),10)D.eq\f(\r(2),10)

解析由于α是第三象限角且cosα＝－eq\f(4,5)，
∴sinα＝－eq\f(3,5).
∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)
＝eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)－\f(4,5)))＝－eq\f(7\r(2),10).

3.若sineq\f(α,2)＝eq\f(\r(3),3)，则cosα＝()
A．－eq\f(2,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)

解析因为sineq\f(α,2)＝eq\f(\r(3),3)，
所以cosα＝1－2sin2eq\f(α,2)＝1－2×eq\b