高一数学函数经典题目及答案(3).doc

1函数解析式的特殊求法
例1已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x1,求f(x)的解析式
例2若,求f(x)
例3已知，求
例4已知：函数的图象关于点对称，求的解析式
例5已知f(x)满足，求
2函数值域的特殊求法
例1.求函数的值域。
例2.求函数的值域。
例3求函数y=(x+1)/(x+2)的值域
例4.求函数的值域。

例1下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
①
②
③
2若函数的图象经过，那么的反函数图象经过点
(B) (C) (D)
例3
已知函数对任意的满足：
；。
（1）求：的值；
（2）求证：是上的减函数；
（3）若，求实数的取值范围。
例4已知Z}，
Z}，≤，问是否存在实数，使得(1)，(2)同时成立.
证明题
1已知二次函数对于1、2R，且1＜2时
，求证：方程＝有不等实根，且必有一根属于区间（1，2）.

答案
1解：设f(x)=kx+b则k(kx+b)+b=4x1
则或
∴或
2换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。解法一（换元法）：令t=则x=t1,t≥1代入原式有

∴（x≥1）
解法二（定义法）：
∴≥1
∴(x≥1)
4代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
解：设为上任一点，且为关于点的对称点
则，解得：，
点在上

把代入得：
整理得

例5构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
∵已知①，
将①中x换成得②，
①×2-②得∴.
值域求法
例1解：将函数配方得：
∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时，故函数的值域是：[4，8]
2.判别式法例2.解：原函数化为关于x的一元二次方程

（1）当时，

解得：
（2）当y=1时，，而故函数的值域为

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例3求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝
5.函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例4.求函数的值域。解：由原函数式可得：
∵
∴
解得：
故所求函数的值域为
例1（定义域不同）（定义域不同）（定义域、值域都不同）
例3解:（1）令，得
令，得
（2）证明：设是上的任意两个实数，且，即，
从而有，
则
∴即是上的减函数
（3）令，得
∵∴，又，
即有
∴
∴
又∵是上的减函数∴即
∴实数的取值范围是
例4分析：假设存在使得(1)成立，得到与的关系后与≤联立，然后讨论联立的不等式组.
解：假设存在实数，使得，同时成立，则集合Z}与集合Z}分别对应集合Z}与Z}，与对应的直线与抛物线至少有一个公共点，所以方程组有解，即方程必有解.
因此≥≤，①
又∵≤②
由①②相加，得≤，即≤.∴.
将代入①得≥，
再将代入②得≤，因此，
将，代入方程得，
解得Z.
所以不存在实数，使得(1)，(2)同时成立.
证明题1
1解：设F（）＝－，
则方程＝①
与方程F（）＝0②等价
∵F（1）＝－＝
F（2）＝－＝
∴F（1）·F（2）＝－，又
∴F（1）·F（2）＜0
故方程②必有一根在区间（1，2）内.由于抛物线y＝F（）在轴上、下方均有分布，所以此抛物线与轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（1，2）.
点评：本题由于方程是＝，其中因为有表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明的图像与轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证＜0，使本题没法解决.本题中将问题转化为F（）＝－的图像与轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.