0-1背包问题四种不同算法的实现..doc

兰州交通大学

数理与软件工程学院

题目0-1背包问题算法实现

院系数理院
专业班级信计09
学生姓名雷雪艳
学号200905130
指导教师李秦

二Ｏ一二年六月五日

一、问题描述：
1、0—1背包问题：给定n种物品和一个背包，背包最大容量为M，物品i的重量是wi,其价值是平Pi，问应当如何选择装入背包的物品，似的装入背包的物品的总价值最大？
背包问题的数学描述如下：
2、要求找到一个n元向量(x1，x2…xn)，在满足约束条件：
情况下，使得目标函数，其中，1in；M>0；wi>0；pi>0。满足约束条件的任何向量都是一个可行解，而使得目标函数达到最大的那个可行解则为最优解[1]。
给定n种物品和1个背包。物品i的重量是wi，其价值为pi，背包的容量为M。问应如何装入背包中的物品，使得装人背包中物品的总价值最大？在选择装人背包的物品时，对每种物品i只有两种选择，即装入背包、不装入背包。不能将物品i装人背包多次，也不能只装入部分的物品i。该问题称为0-1背包问题。
0-1背包问题的符号化表示是，给定M>0，wi>0，pi>0，1in，要求找到一个n元0-1向量向量(x1，x2…xn)，Xi=0或1,1in,使得
，而且达到最大[2]。
二、解决方案：
方案一：贪心算法
1、贪心算法的基本原理与分析
贪心算法总是作出在当前看来是最好的选择，即贪心算法并不从整体最优解上加以考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优解。贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，但对范围相当广的许多问题它能产生整体最优解。在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，但其最终结果却是最优解的很好近似解。
贪心算法求解的问题一般具有两个重要性质：贪心选择性质和最优子结构性质。所谓贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优解的选择，即贪心选择来达到。这是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征。
2、0-1背包问题的实现
对于0-1背包问题，设A是能装入容量为c的背包的具有最大价值的物品集合，则Aj=A-{j}是n-1个物品1,2,...,j-1,j+1,...,n可装入容量为c-wj的背包的具有最大价值的物品集合。
用贪心算法求解0-1背包问题的步骤是，首先计算每种物品单位重量的价值vi/wi；然后，将物品进行排序，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。若将这种物品全部装入背包后，背包内的物品总量未超过c，则选择单位重量价值次高的物品并尽可能多地装入背包。依此策略一直进行下去，直到背包装满为止。
3、算法设计如下：
#include<iostream.h>
#definemax100//最多物品数
voidsort(intn,floata[max],floatb[max])//按价值密度排序
{
intj,h,k;
floatt1,t2,t3,c[max];
for(k=0;k<n;k++)
c[k]=a[k]/b[k];
for(j=0;j<n;j++)
if(c[j]<c[j+1])
{t1=a[j];a[j]=a[j+1];a[j+1]=t1;
t2=b[j];b[j]=b[j+1];b[j+1]=t2;
t3=c[j];c[j]=c[j+1];c[j+1]=t3;
}
}
voidknapsack(intn,floatlimitw,floatv[max],floatw[max],intx[max])
{floatc1;//c1为背包剩余可装载重量
inti;
sort(n,v,w);//物品按价值密度排序
c1=limitw;
for(i=0;i<n;i++)
{
if(w[i]>c1)break;
x[i]=1;//x[i]为1时，物品i在解中
c1=c1-w[i];
}
}
voidmain()
{intn,i,x[max];
floatv[max],w[max],totalv=0,totalw=0,limitw;
cout<<"请输入n和limitw:";
cin>>n>>limitw;
for(i=1;i<=n;i++)
x[i]=0;//物品选择情况表初始化为0
cout<<"请依次输入物品的价值："<<endl;
for(i=1;i<=n;i++)
cin>>v[i];
cout<<endl;
cout<<"请依次输入物品的重量："<<endl;
for(i=1;i<=n;i++)
cin>>w[i];
cout<<endl;
knapsack(n,limitw,v,w,x);
cout<<"theselect