抛物线知识点归纳总结与经典习题.doc

.

.

抛物线经典结论和例题

抛
物
线
x
y
O
l
F

x
y
O
l
F

l
F
x
y
O
x
y
O
l
F

定义平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。
{=点M到直线的距离}范围对称性关于轴对称关于轴对称焦点(,0)(,0)(0,)(0,)焦点在对称轴上顶点离心率=1准线
方程准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离焦点到准线的距离焦半径
焦点弦长

o
x

F
y

焦点弦的几条性质

以为直径的圆必与准线相切若的倾斜角为，则若的倾斜角为，则切线
方程

直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y得：（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k≠0时，
Δ＞0，直线与抛物线相交，两个不同交点；
Δ=0，直线与抛物线相切，一个切点；
Δ＜0，直线与抛物线相离，无公共点。
若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）

关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线：抛物线，
联立方程法：

设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出，
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如
相交弦AB的弦长

或
b.中点,，
点差法：
设交点坐标为，，代入抛物线方程，得
将两式相减，可得
所以
在涉及斜率问题时，
在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，即，
同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有
（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）

一、抛物线的定义及其应用
例1、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
例2、设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()
A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)
二、抛物线的标准方程和几何性质
例3、抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则△AKF的面积是()
A．4B．3eq\r(3)C．4eq\r(3)D．8
例4、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3则此抛物线的方程为()
A．y2＝eq\f(3,2)xB．y2＝9xC．y2＝eq\f(9,2)xD．y2＝3x
三、抛物线的综合问题
例5、已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2eq\r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．

例6、已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求·的最小值

例7、已知点M(1，y)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F的距离为2，直线l：y＝－eq\f(1,2)x＋b与抛物线C交于A，B两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．

练习题
1．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的上焦点，则a等于(）
A．1B．4C．8 D．16
2．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()
A．－eq\f(17,16) B．－eq\f(15,16)C.eq\f(7,16) D.eq\f(15,16)
3．(2011·辽宁高考)已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()
A.eq\f(3,4) B．1C.eq\f(5,4) D.eq\f(7,4)
4．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()
A．相离 B．相交C．相切 D．不确定
5．已知F为抛物线y2＝8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则||FA|－|FB||的值等于()A．4eq\r(2) B