等比数列知识点总结与典型例题(精华word版)-推荐文档.doc

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等比数列知识点总结与典型例题
1、等比数列的定义：，称为公比
2、通项公式：
，首项：；公比：
推广：
3、等比中项：
（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项，即：或
注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（
（2）数列是等比数列
4、等比数列的前项和公式：
（1）当时，
（2）当时，
（为常数）
5、等比数列的判定方法：
（1）用定义：对任意的，都有为等比数列
（2）等比中项：为等比数列
（3）通项公式：为等比数列
6、等比数列的证明方法：
依据定义：若或为等比数列
7、等比数列的性质：
（2）对任何，在等比数列中，有。
（3）若，则。特别的，当时，得注：
等差和等比数列比较：
等差数列等比数列定义递推公式；；通项公式（）中项（）（）前项和
重要
性质

经典例题透析
类型一：等比数列的通项公式
例1．等比数列中，,,求.
思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于和的二元方程组，解出和，可得；或注意到下标，可以利用性质可求出、，再求.
解析：
法一：设此数列公比为，则
由(2)得：..........(3)
∴.
由(1)得：,∴......(4)
(3)÷(4)得：，
∴,解得或
当时，，；
当时，，.
法二：∵,又,
∴、为方程的两实数根，
∴或
∵,∴或.
总结升华：
①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；
②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.
举一反三：
【变式1】{an}为等比数列，a1=3，a9=768，求a6。
【答案】±96
法一：设公比为q，则768=a1q8，q8=256，∴q=±2，∴a6=±96；
法二：a52=a1a9a5=±48q=±2，∴a6=±96。
【变式2】{an}为等比数列，an＞0，且a1a89=16，求a44a45a46的值。
【答案】64；
∵，又an＞0，∴a45=4
∴。
【变式3】已知等比数列，若，，求。
【答案】或；
法一：∵，∴，∴
从而解之得，或，
当时，；当时，。
故或。
法二：由等比数列的定义知，
代入已知得

将代入（1）得，
解得或
由（2）得或，以下同方法一。
类型二：等比数列的前n项和公式
例2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q.
解析：若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.
因a1≠0，得S3+S6≠2S9，显然q=1与题设矛盾，故q≠1.
由得，，
整理得q3(2q6-q3-1)=0，
由q≠0，得2q6-q3-1=0，从而(2q3+1)(q3-1)=0，
因q3≠1，故，所以。
举一反三：
【变式1】求等比数列的前6项和。
【答案】；
∵，，
∴。
【变式2】已知：{an}为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求S5.
【答案】；
∵，，则a1=1或a1=9
∴.
【变式3】在等比数列中，，，，求和。
【答案】或2，；
∵，∴
解方程组，得或
①将代入，得，
由，解得；
②将代入，得，
由，解得。
∴或2，。
类型三：等比数列的性质
例3.等比数列中，若,求.
解析：
∵是等比数列，∴
∴
举一反三：
【变式1】正项等比数列中，若a1·a100=100;则lga1+lga2+……+lga100=_____________.
【答案】100；
∵lga1+lga2+lga3+……+lga100=lg(a1·a2·a3·……·a100)
而a1·a100=a2·a99=a3·a98=……=a50·a51
∴原式=lg(a1·a100)50=50lg(a1·a100)=50×lg100=100。
【变式2】在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________。
【答案】216；
法一：设这个等比数列为，其公比为，
∵，，∴，
∴。
法二：设这个等比数列为，公比为，则，，
加入的三项分别为，，，
由题意，，也成等比数列，∴，故，
∴。
类型四：等比数列前n项和公式的性质
例4．在等比数列中，已知，，求。
思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，……，第n个k项和仍然成等比数列。
解析：
法一：令b1=Sn=48,b2=S2n-Sn=60-48=12，b3=S3n-S2n
观察b1=a1+a2+……+an,
b2=an+1+an+2+……+a2n=qn(a1+a2+……+an)，
b3=a2n+1+a2n+2+……+a3n=q2n(a1+a2+……+an)
易知b1,b2,b3成等比数列，∴，
∴S3n=b3+S2n=3