导数的概念及其几何意义(理-同步).doc

同步课程˙导数的概念及其几何意义

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导数的概念及其几何意义
知识回顾

函数的概念？
设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合}叫做函数的值域．
判断函数的单调性有哪几种方法？
定义法、图象法、复合函数的单调性结论：“同增异减”等.
知识讲解

一、导数的概念
1．函数的平均变化率：
一般地，已知函数，，是其定义域内不同的两点，记，
，
则当时，商称作函数在区间（或）的平均变化率．
注：这里，可为正值，也可为负值．但，可以为．

2．函数的瞬时变化率、函数的导数：
设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应的改变．
如果当趋近于时，平均变化率趋近于一个常数（也就是说平均变化率与某个常数的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数称为函数在点的瞬时变化率．
“当趋近于零时，趋近于常数”可以用符号“”记作：
“当时，”，或记作“”，符号“”读作“趋近于”．
函数在的瞬时变化率，通常称为在处的导数，并记作．
这时又称在处是可导的．于是上述变化过程，可以记作
“当时，”或“”．

3．可导与导函数：
如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导．这样，对开区间内每个值，都对应一个确定的导数．于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数．记为或（或）．
导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．

二、导数的几何意义
1.导数的几何意义：
设函数的图象如图所示．为过点与的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫做此曲线过点的切线，即切线的斜率．
由导数意义可知，曲线过点的切线的斜率等于．
2.求曲线的切线方程
若曲线在点及其附近有意义，给横坐标一个增量，相应的纵坐标也有一个增量，对应的点.则为曲线的割线.当时,如果割线 趋近于一确定的直线，则这条确定的直线即为曲线的切线.当然，此时割线的斜率就趋近于切线的斜率.
切线的方程为.

题型一、导数的概念
如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则；函数在处的导数．

求函数在到之间的平均变化率．

求函数在附近的平均变化率，在处的瞬时变化率与导数．

求在处的导数．

题型二、导数的几何意义

已知曲线上一点，用斜率定义求：
过点A的切线的斜率；
过点A的切线方程．

函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）

A．B．
C．D．

求函数的图象上过点的切线方程．

题型三、综合问题
已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b切于点(1,3)，则b的值为()
A．3 B．－3
C．5 D．－5

曲线y＝eq\f(x,x＋2)在点(－1，－1)处的切线方程为()
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2

设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝()
A．1 B.eq\f(1,2)
C．－eq\f(1,2) D．－1

若函数f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)f′(1)x2－f′(2)x＋5，则曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线l的方程为________．

已知f1(x)＝sinx＋cosx，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1(eq\f(π,2))＋f2(eq\f(π,2))＋…＋f2012(eq\f(π,2))＝________.

曲线C：f(x)＝sinx＋ex＋2在x＝0处的切线方程为________．

已知直线y＝kx与曲线y＝lnx有公共点，则k的最大值为________．

设P为曲线C：y＝x2－x＋1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P纵坐标的取值范围是________．

曲线C：f(x)＝sinx＋ex＋2在x＝0处的切线方程为________．

若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）
A．B．C．D．

若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于（）
A．或B．或C．或D．或

已知函数的图象在点处的切线方程为，又点的横坐标为，则________．

⑴曲线在点处