2018年高考数学总复习-定积分和微积分基本定理.doc

第三节定积分和微积分基本定理
考纲解读
1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念.
2.了解微积分基本定理的含义.
命题趋势探究
定积分的考查以计算为主，其应用主要是求一个曲边梯形的面积，题型主要为选择题和填空题.
知识点精讲
一、基本概念
1.定积分的极念
一般地，设函效在区间[a，b]上连续.用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上任取一点，作和式：，当无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分．记为：，为被积函数，为积分变量，为积分区间，为积分上限，为积分下限．
需要注意以下几点：
（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时），称为，而不是．
（2）用定义求定积分的一般方法.
①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：
（3）曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功
2．定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影部分所示)的面积，这就是定积分的几何意义．
一般情况下，定积分的值的几何意义是介于轴、函数的图像以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号．
二、基本性质
性质1.
性质2（定积分的线性性质）.
性质3（定积分的线性性质）.
性质4（定积分对积分区间的可加性）
推广1
推广2．
三、基本定理
设函数是在区间上连续，且是是在上的任意一个原函数，即，则，或记为，称为牛顿—莱布尼兹公式，也称为微积分基本定理．
该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，只要求出被积函数的一个原函数．然后计算原函数在区间上的增量即可，这一定理提示了定积分与不定积分之间的内在联系．
题型归纳及思路提示
题型51定积分的计算
思路提示
对于定积分的计算问题，若该定积分具有明显的几何意义，如圆的面积等（例3.26及其变式），则利用圆面积计算，否则考虑用牛顿-莱布尼茨公式计算．
例3.25（2012江西11）计算=．
解析．
A.B.C.D.
变式1
A.B.C.D.
变式2
A.1B.C.D.
变式3设函数，若，则的值为．
变式4设函数的定义域为R,若对于给定的正数，定义函数，则当函数时，定积分的值为
（）
A.B.C.D.
例3.26根据定积分的几何意义计算下列定积分
（1）；（2）
分析根据定积分的几何意义，利用图形的面积求解.
解析根据定积分的几何意义，所求的定积分是直线所围成图形（如图3-14所示）的面积的代数和，很显然这是两个面积相等的等腰直角三角形，如图3-14所示，其面积代数和是0，故．
（2）根据定积分的几何意义，所求的定积分是曲线和轴围成图形（如图3-15所示）的面积，显然是半个单位圆，其面积是，故．
评注定积分的几何意义是函数和直线以及轴所围成的图形面积的代数和，面积是正值,但积分值却有正值和负值之分，当函数时,面积是正值，当函数时，积分值是负值．
变式1根据定积分的几何几何意义计算下列定积分．
（1）；（2）；（3）；（4）．
题型52求曲边梯形的面积
思路提示
函数与直线围成曲边梯形的面积为，具体思路是：先作出所涉及的函数图象，确定出它们所围成图形的上、下曲线所对应函数，被积函数左、右边界分别是积分下、上限．
例3.27由曲线围成的封闭图形的面积为（）
A.B.C.D.
解析由得则由和围成的封闭图形的面积为，故选A．
变式1（2012湖北理3）已知二次函数的图象如图3-16所求，则它与轴所围成图形的面积为（）
A.B.C.D.
y
x
O
图3-16

变式2由曲线和直线所围成的图形（如图3-17中阴影部分所示）面积的最小值为（）
A.B.C.D.
变式3求抛物线与围成的平面图形的面积．
变式4求由两条曲线和直线所围成的面积．
最有效训练题16（限时45分钟）
1.已知函数，则（）
A.-2B.C.-4D.
2.定积分（）
A,B.C.D.
3.设，则（）
A.B.C.D.不存在
4.，则的大小关系是（）
A,B.C.D.
5.曲线与直线所围成的平面区域的面积为（）
A,１B.２C.D.
6.由直线与曲线所围成的平面图形的面积为（）
A,B.１C.D.
7.抛物线与直线围成的平面图形的面积为．
8.已知是偶函数，且，则．
9.．
10.已知函数的图象是折线段ABC，其中．函数的图象与轴所围成的图形的面积为．
11.根据定积分的几何意义计算下列定积分．
（１）；（２）；（３）；
（４）；（５）
１２．有一条直线与抛物线相交于Ａ，Ｂ两点，线段ＡＢ与抛物线所围成图形的面积恒等于，求线段ＡＢ的中点Ｐ的轨迹方程．