知识点一导数与函数的单调性.doc

1.函数的单调性：在某个区间（a,b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减.如果，那么函数在这个区间上是常数函数.
注：函数在（a,b）内单调递增，则，是在（a,b）内单调递增的充分不必要条件.
2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．
一般地，当函数在点处连续时，判断是极大（小）值的方法是：
（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值．
（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．
注：导数为0的点不一定是极值点

知识点一：导数与函数的单调性方法归纳：
在某个区间（a,b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减.如果，那么函数在这个区间上是常数函数.
注：函数在（a,b）内单调递增，则，是在（a,b）内单调递增的充分不必要条件.

例1】（B类）已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间.
【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上.函数在区间上递增可得：；函数在区间上递减可得：.

【例2】（A类）若在区间[－1,1]上单调递增，求的取值范围.
【解题思路】利用函数在区间上递增可得：；函数在区间上递减可得：.得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解
【例3】（B类）已知函数,,设．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值
【课堂练习】
1.（B）已知函数的图像经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.

2．（B类）设函数，在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为
（1）若方程的表达式；
（2）若的最小值

3.（A类）已知函数，．当时，讨论函数的单调性.

例一[解析】（Ⅰ）由的图象经过，知，
所以.
所以.
由在处的切线方程是，
知，即，.
所以即解得.
故所求的解析式是.
（Ⅱ）因为，
令，即，
解得，.
当或时，，
当时，，
故在内是增函数，在内是减函数，在内是增函数.
例二【解析】又在区间[－1,1]上单调递增
在[－1,1]上恒成立即在[－1,1]时恒成立.
故的取值范围为
例三解析】（I），
∵，由，∴在上单调递增.
由，∴在上单调递减.
∴的单调递减区间为，单调递增区间为.
（II），恒成立
当时，取得最大值.
∴，∴amin=
课堂练习；1，【解析】（Ⅰ）的图象经过点∴
∵，∴
由已知条件知即
∴解得：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
令则或
∵函数在区间上单调递增∴
∴或即或

2，解析】（1）根据导数的几何意义知
由已知-2、4是方程的两个实根
由韦达定理，
（2）在区间[—1，3]上是单调递减函数，所以在[—1，3]区间上恒有

其中点（—2，3）距离原点最近，
所以当有最小值13
3，【解析】∵，
∴（1）当时，若为增函数；
为减函数；
为增函数．
（2）当时，为增函数；
为减函数；
为增函数

知识点二:导数与函数的极值最值方法归纳：
1.求函数的极值的步骤:
(1)确定函数的定义域，求导数.
(2)求方程的根.
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查
在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值.
2.求函数在上最值的步骤：（1）求出在上的极值.
（2）求出端点函数值.
（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.
注:可导函数在处取得极值是的充分不必要条件.
【例4】（A类）若函数在处取得极值,则.
【解题思路】若在附近的左侧，右侧，且,那么是的极大值；若在附近的左侧，右侧，且,那么是的极小值.
【解析】因为可导,且,所以,解得.
验证当时,函数在处取得极大值.
【注】若是可导函数，注意是为函数极值点的必要条件.要确定极值点还需在左右判断单调性.
[例5】（B类）已知函数，
（I）求的单调区间；（II）求在区间上的最小值.
【解析】（I），令；所以在上递减，在上递增；
（II）当时，函数在区间上递增，所以；
当即时，由（I）知，函数在区间上递减，上递增，所以；当时，函数在区间上递减，所以.
【例6】（B类）设是函数的两个极值点.
（1）试确定常数a和b的值；
（2）试判断是函数的极大值点还是极小值点，并求相应极值.
【解析】（1）
由已知得：
（2）变化时.的变化情况如表：
（0，1）1（1，2）2—0+0—极小值极大值故在处，函数取极小值；在处，函数取得极大值
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