数学中科大博士刘彦麟总结(数学科学学院).doc

高中数学竞赛情况简介
目前由中国数学会组办的，中学生广泛参与的，与保送直接挂钩的高中阶段数学竞赛主要是全国高中数学联赛以及中国数学奥林匹克（CMO，也称冬令营，因为在冬天举办）。

全国高中数学联赛在现在是在每年的9月中旬第一个周日举办，分为一试与二试。是以省为单位进行考试与评奖，各个省赛区一般会集中在省会城市的一或两所中学进行考试。

一试所涉及的知识范围不超出教育部2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用知识的能力。试卷包括8道填空题(每题8分)和3道解答题(分别为16分、20分、20分)，全卷满分120分。

全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展。目前是四道大题，分别考察平面几何，代数（一般是不等式），组合数学以及初等数论。前两道题每题40分，后两道题每题50分，满分180分。
1.平面几何
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：五心、费马点，欧拉线。
几何不等式，几何极值问题。
几何中的变换：对称，平移，旋转，反演。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数
周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理，因式分解定理，多项式的相等，
整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*。
3.初等数论
同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[X]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，中国剩余定理*。
4.组合问题
圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数。
存在性问题，组合极值。
抽屉原理，容斥原理，极端原理，平均原理。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
图论问题。
组合几何。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

联赛可以获得省级一等奖，现在每年大概有1400个省一，一般省份是40人左右，主要根据各省人数以及往年竞赛成绩来决定省一人数，获奖人数比较多的省份如北京，湖南，湖北，江苏，浙江，广东，山东，河南，西部一些省的获奖人数就比较少。每个省的前几名还会获得参加冬令营的资格，现在全国大概总共340,350人参加冬令营，浮动人数主要是因为在前一年参加冬令营获得金牌的还未毕业的学生可以自动获得入营资格，各省省队人数会根据冬令营成绩来进行浮动。现在冬令营里前100名左右获得金牌，前60名左右组成国家集训队，在进行集中培训以及几次测试和选拔考试后，从中产生6人组成国家队参加国际数学奥林匹克（IMO）。

现在的保送政策是，省一等奖不再直接保送，而是具有保送资格，可以参加各高校的自主招生考试，来获取降分录取的资格。冬令营选手现在依然具有直接保送的资格，在冬令营考试之后，会有各个高校的招生组在现场进行招生，对于集训队的选手，一般都能进入北大清华，一等奖的也一般都能进入重点大学。

对于竞赛时间的安排，我的建议是：

要尽可能在高一下半期期中前，完成高考内容的学习，并要做够足够数量的习题，简单说，我们是速成但绝不是偷工减料，正常高考生要做的参考书，我还是希望大家能尽量都完成，当然如果你认为某一块儿知识你已经掌握的非常熟练，可以少做一些，毕竟我们说练习的最主要目的在于帮助理解。而且把基础知识打扎实，不管对你参加竞赛，还是高考，甚至以后整个人生都会受益匪浅。

高一下期中之后，要把近两年的高考卷子当为考试来做一遍，每天至少考两套，这个目的很明确，因为一试内容就是以高考内容为基础的，而且当你发现做高考题如砍瓜切菜时，也算断了后顾之忧，而且对你整个信心都是很大的提升。同时，要适时地开始竞赛内容的学习，建议首先学习代数方面的内容，一来说代数是最重要的工具一点都不夸张，而且高一学习的很多内容，比如数列、多项式、不等式，甚至包括函数，都是竞赛中代数的内容。

像数论，组合之类的比较难的部分，大家还是需要出去听一些专家的培训，因为毕竟难度比较大，基本上从高一下的暑假开始，就开始不断地外出培训。在你出去培训前，至少在知识的层面上不应该有漏洞，比如平几、数论中基础的概念重要的定理，虽然你肯定做不到熟练掌握运用，但至少应该对它们非常熟悉，要不到时听课你都不知道别人在说什么，又何谈理解