线段的垂直平分线与角平分线讲义.doc

线段的垂直平分线与角平分线(1)
知识要点详解
1、线段垂直平分线的性质
（1）垂直平分线性质定理：

定理的数学表示：

定理的作用：证明两条线段相等
（2）线段关于它的垂直平分线对称.

经典例题：
例1如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）
A．6cmB．8cm C．10cmD．12cm

针对性练习：
已知：1、如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=

C
E
B

D
A
2、如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是

3、如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，
那么∠EBC是

2、线段垂直平分线性质定理的逆定理
（1）线段垂直平分线的逆定理：

定理的数学表示：

定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分上.

例2.如图，已知：在中，，，BD平分交AC于D.求证：D在AB的垂直平分线上.

B
针对性练习：
已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OC
B
A
C
O
N
求证：点O在BC的垂直平分线

例3、如图8，已知AD是△ABC的BC边上的高，且∠C＝2∠B，
求证：BD＝AC＋CD.
证明：

例4．如图，已知：AD平分，EF垂直平分AD，交BC延长线于F，连结AF。求证：。

3、关于三角形三边垂直平分线的定理
（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：

定理的数学表示：

定理的作用：证明三角形内的线段相等.

（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：

课堂练习：
1.如图，AC=AD，BC=BD，则（）
A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CD
C.CD平分∠ACB D.以上结论均不对

2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（）
A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形

3.下列命题中正确的命题有（）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；
②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；
③经过线段中点的直线只有一条；
④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；
⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，
求证：AO⊥BC.

5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线
MN分别交BC、AB于点M、N.求证：CM=2BM.

线段的垂直平分线与角平分线（2）
知识要点详解
4、角平分线的性质定理：

定理的数学表示：

定理的作用：
①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；
角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.
5、角平分线性质定理的逆定理：
角平分线性质定理的逆定理：

定理的数学表示：

定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线
注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.

经典例题：例1：
已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，PB=PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。
求证：PE=PF

针对性练习：
已知：PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA平分线，它们交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线。

例2、如图10，已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，E为BC中点，连接AE、DE，DE平分∠ADC，求证：AE平分∠BAD.

例3、如图11-1，已知在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补，
求证：AD＝CD.

课堂练习：
1.△ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，△EBC的周长为20cm，AB=2BC，则腰长为________________。

2.如图所示，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于______________。

6、关于三角形三条角平分线的定理：
（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：

定理的数学表示：

定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；
②用于实际中的几何作图问题.
（2）三角形三条角平分线的交点位