最优化原理和方法(试题+答案).doc

《最优化原理与算法》试卷

填空题（每小题5分）
1.若，则，.
2.设连续可微且，若向量满足，则它是在处的一个下降方向。
3.向量关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有.
4.设二次可微，则在处的牛顿方向为.
5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法：.
6.以下约束优化问题：

的K-K-T条件为：

.
7.以下约束优化问题：

的外点罚函数为（取罚参数为）.

证明题（7分+8分）
1.设和都是线性函数，证明下面的约束问题：

是凸规划问题。

2.设连续可微，，，，考察如下的约束条件问题：

设是问题

的解，求证：是在处的一个可行方向。

计算题（每小题12分）
1.取初始点.采用精确线性搜索的最速下降法求解下面的无约束优化问题（迭代2步）：

2.采用精确搜索的BFGS算法求解下面的无约束问题：

3.用有效集法求解下面的二次规划问题：

4.用可行方向算法（Zoutendijk算法或FrankWolfe算法）求解下面的问题（初值设为,计算到即可)：

参考答案
一、填空题
1.
2.
3.，（答案不唯一）。
4.
5.牛顿法、修正牛顿法等（写出一个即可）
6.

7.
二、证明题
1.证明：要证凸规划，即要证明目标函数是凸函数且可行域是凸集。
一方面，由于二次连续可微，正定，根据凸函数等价条件可知目标函数是凸函数。
另一方面，约束条件均为线性函数，若任意可行域，则

故，从而可行域是凸集。
2.证明：要证是在处的一个可行方向，即证当，时，，使得，
当时，，，故；
当时，，，故.
因此，是在处的一个可行方向。
计算题
1.解：
令得；

第一次迭代：，，，令，求得；
第二次迭代：，，，
，令，求得，故，由于，故为最优解。
012

2.解：取

第一步迭代：
，，令，求得；
第二步迭代：
，，

，，令，求得。故，由于，故为最优解。

01/212
2
3.解：取初始可行点求解等式约束子问题

得解和相应的Lagrange乘子

转入第二次迭代。求解等式约束子问题

得解

令

转入第三次迭代。求解等式约束子问题

得解和相应的Lagrange乘子

由于，故得所求二次规划问题的最优解为
，
相应的Lagrange乘子为

4.解：计算梯度得

当时，，.是下面线性规划问题的解：

解此线性规划（作图法）得，于是.由线性搜索

得.因此，.重复以上计算过程得下表：
0112