最全圆锥曲线知识点总结-推荐文档.doc

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高中数学椭圆的知识总结
1.椭圆的定义：
平面内一个动点P到两个定点的距离之和等于常数（），这个动点P的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
注意：若，则动点P的轨迹为线段；若，则动点P的轨迹无图形.
（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时＝1（）。
2.椭圆的几何性质：
（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。⑥
（2）.点与椭圆的位置关系：①点在椭圆外；
②点在椭圆上＝1；③点在椭圆内
3．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：直线与椭圆相交；（2）相切：直线与椭圆相切；
（3）相离：直线与椭圆相离；
如:直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_______；
4.焦点三角形（椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形）
5.弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝，若弦AB所在直线方程设为，则＝。
6.圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；
如（1）如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是；
（2）已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______；
（3）试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称；
特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！
椭圆知识点的应用
1.如何确定椭圆的标准方程？
任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
2.椭圆标准方程中的三个量的几何意义
椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且。
可借助右图理解记忆：
恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。
3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置
椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看，的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
4．方程是表示椭圆的条件
方程可化为，即，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。
5．求椭圆标准方程的常用方法：
①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
共焦点，则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，此类问题常用待定系数法求解。
7．判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据：
①若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；
②若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；
③若把曲线方程中的、同时换成、，方程不变，则曲线关于原点对称。
8．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？
思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。
将有关线段，有关角()结合起来，建立、之间的关系.
9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为，，用表示为。
显然：当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，越小，椭圆形状越趋近于圆。
题型1:椭圆定义的运用
例1.已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则______.
例2.如果方程表示焦点在x轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.
例3.已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为
题型2：求椭圆的标准方程
例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
经过两点；
(2)经过点(2，－3)且与椭圆具有共同的焦点；
(3)一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4.
题型3:求椭圆的离心率
例1、中，若以为焦点的椭圆经过点，则椭圆的离心率为.
例2、过椭圆的一个焦点作椭圆长轴