对数与对数函数知识点与例题讲解.doc

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对数与对数函数知识点与例题讲解
知识梳理：
一、对数
1、定义：一般地，如果，那么实数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做对数的真数.
2、特殊对数
⑴通常以10为底的对数叫做常用对数，并把记为；
⑵通常以为底的对数叫做自然对数，并把记为.
3、对数的运算
⑴运算性质：如果，那么：
①；②；③；
④；⑤；⑥.
⑵换底公式：.
二、对数函数
1、定义：一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是.
2、图像和性质
图像性质定义域：值域：过定点，即当时，在上是在上是非奇非偶函数3、同底的指数函数与对数函数互为反函数，它们的图像关于直线对称.

【课前小测】
1、写成对数式，正确的是（）
A、B、C、D、
2、函数的图像过定点（）
A、B、C、D、
3、等于（）A、B、C、D、
4、函数的定义域是（）
A、B、C、D、
5、函数的定义域是（）
A、B、C、D、
考点一、化简和求值
例1、⑴（）
A、0B、1C、2D、4
解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2
⑵计算：．
解：原式．
变式、⑴（辽宁卷文10）设，且，则（）
A、B、10C、20D、100
⑵已知，用a表示；
⑶已知，，用、表示．

考点二、比较大小
例2、较下列比较下列各组数中两个值的大小：
⑴，；⑵，；
⑶，，；⑷，，．
答案：⑴>；⑵>；⑶>，>；⑷>，>．
变式、⑴已知函数，若，则、、从小到大依次为；
⑵已知，比较，的大小．
解：∵，∴，当，时，得，
∴，∴．当，时，得，
∴，∴．当，时，得，，
∴，，∴．
综上所述，，的大小关系为或或．
考点三、解与对数相关的不等式
例3、⑴解不等式．
解：原不等式等价于或
解之得：4＜x≤5∴原不等式的解集为{x|4＜x≤5}
⑵解关于x的不等式：．
解：原不等式可化为
当a＞1时有
（其实中间一个不等式可省,为什么？让学生思考）
当0＜a＜1时有
∴当a＞1时不等式的解集为；当0＜a＜1时不等式的解集为
⑶解不等式
解：两边取以a为底的对数：
当0<a<1时原不等式化为：
∴，，∴
当a>1时原不等式化为：
∴，∴，∴
∴原不等式的解集为或
考点四、对数型函数的性质
①定义域、值域
例4、⑴函数的定义域是（）
A、B、C、D、
⑵函数的定义域是（）
A、B、C、D、
⑶函数的值域为（）
A、B、C、D、
变式、求函数的定义域.

②单调性、奇偶性
例5、⑴函数y＝log3(x2－2x)的单调减区间是________．
解：令u＝x2－2x，则y＝log3u.
∵y＝log3u是增函数，u＝x2－2x＞0的减区间是(－∞，0)，
∴y＝log3(x2－2x)的减区间是(－∞，0)．
⑵设0＜a＜1，函数f(x)＝loga(a2x－2ax－2)，则使f(x)＜0的x的取值范围是（）
A、(－∞，0) B、(0，＋∞)
C、(－∞，loga3) D、(loga3，＋∞)
解：由f(x)＜0，即a2x－2ax－2＞1，整理得(ax－3)(ax＋1)＞0，则ax＞3.∴x＜loga3.
⑶函数y＝log2eq\f(2－x,2＋x)的图象（）
A、关于原点对称 B、关于直线y＝－x对称
C、关于y轴对称 D、关于直线y＝x对称
解：∵f(x)＝log2eq\f(2－x,2＋x)，∴f(－x)＝log2eq\f(2＋x,2－x)＝－log2eq\f(2－x,2＋x)∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．故选A.
变式、⑴若，则的取值范围是（）
A、B、C、D、
⑵若，则的取值范围是．
⑶若函数是奇函数，则a=．
③综合应用
例6、设函数f(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,x)))，其中0＜a＜1.
⑴证明：f(x)是(a，＋∞)上的减函数；
⑵解不等式f(x)＞1.
解析：⑴证明：设0＜a＜x1＜x2，g(x)＝1－eq\f(a,x)，
则g(x1)－g(x2)＝1－eq\f(a,x1)－1＋eq\f(a,x2)＝eq\f(a(x1－x2),x1x2)＜0，
∴g(x1)＜g(x2)．又∵0＜a＜1，∴f(x1)＞f(x2)．
∴f(x)在(a，＋∞)上是减函数．
⑵∵logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al