复变函数与积分变换重要知识点归纳课件225.pdf

复变函数复习重点

(一)复数的概念

1.复数的概念：zxiy，x,y是实数,xRez,yImz.i21.

注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.

2.复数的表示

1）模：zx2y2；

2）幅角：在z0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Argz（多值函数）；主值argz是位于(,]中的

幅角。

y
3）argz与arctan之间的关系如下：
x
y
当x0,argzarctan；
x
y
y0,argzarctan
x
当x0,；
y
y0,argzarctan
x

4）三角表示：zzcosisin，其中argz；注：中间一定是“+”号。

5）指数表示：zzei，其中argz。

(二)复数的运算

1.加减法：若z1x1iy1,z2x2iy2，则z1z2x1x2iy1y2

2.乘除法：

1）若z1x1iy1,z2x2iy2，则

z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2；

z1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2y2x1
。
22i22
z2x2iy2x2iy2x2iy2x2y2x2y2

i1i2
2）若z1z1e,z2z2e,则

z
i12z11i12
z1z2z1z2e；e
z2z2

3.乘幂与方根
innnin
1）若zz(cosisin)ze，则zz(cosnisinn)ze。

i
2）若zz(cosisin)ze，则

1
n2k2k
zzncosisin(k0,1,2Ln1)（有n个相异的值）
nn

（三）复变函数

1．复变函数：wfz，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.

2．复初等函数

zxzz
1）指数函数：eecosyisiny，在z平面处处可导，处处解析；且ee。

注：ez是以2i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）

3）对数函数：Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2L)（多值函数）；

主值：lnzlnziargz。（单值函数）

1
Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且lnz；
z

注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）

3）乘幂与幂函数：abebLna(a0)；zbebLnz(z0)

bb1
注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且zbz。

eizeizeizeizsinzcosz
4）三角函数：sinz,cosz,tgz,ctgz
2i2coszsinz

sinz,cosz在z平面内解析，且sinzcosz,coszsinz

注：有界性sinz1,cosz1不再成立；（与实函数不同）

ezezezez
4）双曲函数shz,chz；
22

shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析，且shzchz,chzshz。

（四）解析函数的概念

1．复变函数的导数
1
fz0zfz0
1）点可导：fz0=lim；
z0z

2）区域可导：fz在区域内点点可导。

2．解析函数的概念

1）点解析：fz在z0及其z0的邻域内可导，称fz在z0点解析；

2）区域解析：fz在区域内每一点解析，称fz在区域内解析；

3）若f(z)在z0点不解析，称z0为fz的奇点；

3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍

为解析函数；

（五）函数可导与解析的充要条件

1．函数可导的充要条件：fzux,yivx,y在zxiy可导

uvuv
ux,y和vx,y在x,y可微，且在x,y处满足CD条件：,
xyyx
uv
此时，有fzi。
xx
2．函数解析的充要条件：fzux,yivx,y在区域内解析

uvuv
ux,y和vx,y在x,y在D内可微，且满足CD条件：,；
xyyx
uv
此时fzi。
xx
注意：若ux,y,vx,y在区域D具有一阶连续偏导数，则ux,y,vx,y在区域D内是可微的。因

此在使用充