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指数函数讲义经典整理（含答案）

一、同步知识梳理

知识点1：指数函数

函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是

知识点2：指数函数的图像和性质

知识点3：指数函数的底数与图像的关系

指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如
图所示，则，
在轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大，
在轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大
即无论在轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大
在第一象限内，“底大图高”

知识点4：指数式、指数函数的理解

①分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算
②根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视
③在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值
④在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像等函数均不符合形式，因此，它们都不是指数函数
⑤画指数函数的图像，应抓住三个关键点：

二、同步题型分析

题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域

例1：已知函数，且．
（1）求m的值；
（2）判定f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．

考点：
指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明．
专题：
计算题．
分析：
（1）欲求m的值，只须根据f（4）=的值，当x=4时代入f（x）解一个指数方程即可；
（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f（x）与f（﹣x）的关系，即可得到答案；
（3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f（x1）＞f（x2），即可．
解答：
解：（1）因为，所以，所以m=1．
（2）因为f（x）的定义域为{x|x≠0}，又，
所以f（x）是奇函数．
（3）任取x1＞x2＞0，则，
因为x1＞x2＞0，所以，所以f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．
点评：
本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．

例2：已知函数，
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）证明：f（x）＞0．

考点：
指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．
专题：
计算题．
分析：
（1）由2x﹣1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（﹣x）=（）（﹣x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数．
（2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，故，从而．当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）＞0，由函数为偶函数，能证明f（x）＞0在定义域上恒成立．
解答：
解：（1）该函数为偶函数．
由2x﹣1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分）
f（﹣x）=（）（﹣x）=﹣（+）x
=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）
故该函数为偶函数．…（7分）
（2）证明：任取x∈{x|x≠0}
当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，
∴2x﹣1＞0，
故
从而…（11分）
当x＜0时，﹣x＞0，
∴f（﹣x）＞0，…（12分）
又因为函数为偶函数，
∴f（x）=f（﹣x）＞0，…（13分）
∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分）
点评：
本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．
例3：已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．
（1）求a的值；
（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；
（3）求的值．

考点：
指数函数的定义、解析式、定义域和值域．
专题：
综合题；函数的性质及应用．
分析：
（1）由y=ax单调得a+a2=20，由此可求a；
（2）写出f（x），代入运算可得；
（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；
解答：
解：（1）∵函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=ax单调，
∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；
（2）由（1）知，
∴=
===1；
（3）由（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得
n为奇数时，=×1=；
n为偶数时，=+f（）==；
综上，=．
点评：
本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．

题型2：指数函数的图像变换．

例1：已知函数y=|2x﹣2|
（1）作出其图象；
（2）由图象指出函数的单调区间；
（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．

考点：
指数函数的图像变换．
专题：
综合题；函数的性质及应