4-3-3-任意四边形、梯形与相似模型(一).教师版.doc

|初一·数学·基础-提高-精英·学生版|第1讲第页

4-3-3.任意四边形、梯形与相似模型题库 pageofNUMPAGES7

任意四边形、梯形与相似模型

例题精讲

板块一任意四边形模型

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

①或者②

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？

【考点】任意四边形模型【难度】2星【题型】解答
在，中有，所以，的面积比为．同理有，的面积比为．所以有×=×，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积．即=，所以有与的面积比为，=公顷，=公顷．
显然，最大的三角形的面积为21公顷．
【答案】21

如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

【考点】任意四边形模型【难度】2星【题型】解答
【关键词】小数报
根据蝴蝶定理求得平方千米，公园四边形的面积是平方千米，所以人工湖的面积是平方千米
【答案】0.58

一个矩形分成4个不同的三角形（如右图），绿色三角形面积占矩形面积的15％，黄色三角形的面积是21平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？

【考点】任意四边形模型【难度】3星【题型】解答
【关键词】华杯赛，初赛，第7题
黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50％，而绿色三角形面积占矩形面积的15％，所以黄色三角形面积占矩形面积的50％－15％＝35％已知黄色三角形面积是21平方厘米，所以矩形面积等于21÷35％＝60(平方厘米)
【答案】60

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形的面积；⑵？

【考点】任意四边形模型【难度】2星【题型】解答
⑴根据蝴蝶定理，，那么；
⑵根据蝴蝶定理，．
【答案】

四边形的对角线与交于点(如图所示)．如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的_________倍．

【考点】任意四边形模型【难度】3星【题型】填空
在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．
解法一：∵，∴，∴．
解法二：作于，于．
∵，∴，∴，∴，∴，
∴．
【答案】2倍

如图，平行四边形的对角线交于点，、、、的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求的面积；⑵求的面积．

【考点】任意四边形模型【难度】3星【题型】解答
⑴根据题意可知，的面积为，那么和的面积都是，所以的面积为；
⑵由于的面积为8，的面积为6，所以的面积为，
根据蝴蝶定理，，所以，
那么．
【答案】

如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为．

【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】填空
【关键词】清华附中，入学测试题
连接、、．则可根据格点面积公式，可以得到的面积为：，的面积为：，的面积为：．所以，所以．
【答案】

【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形的面积．

【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】解答
因为，且∥，所以，．
【答案】

如图，边长为1的正方形中，，，求三角形的面积．

【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】解答
【关键词】人大附中考题
连接．
因为，，所以．
因为，根据蝴蝶定理，，
所以．
所以，
即三角形的面积是．
【答案】

如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积．

【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】解答
连接，．
因为，，所以．
因为，，所以平方厘米，所以平方厘米．因为，所以长方形的面积是平方厘米．
【答案】72

如图，已知正方形的边长为10厘米，为中点，为中点，为中点，