二次函数和幂函数知识点.doc

--
---

教 学 内 容

二次函数与幂函数

1．二次函数的定义与解析式

(1)二次函数的定义

形如：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)的函数叫作二次函数．

(2)二次函数解析式的三种形式

①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)．

②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．

③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)_(a≠0)．

2．二次函数的图像和性质f(x)＝ax2＋bx＋cf(x)＝ax2＋bx＋c解析式(a>0)(a<0)

图像

定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)22值域4ac－b，＋∞－∞，4ac－b4a4a在x∈－∞，－b上单调递减；在x∈－∞，－b上单调递增；单调性2a2a在x∈－b，＋∞－b，＋∞上单调递增在x∈上单调递减2a2a奇偶性当b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数顶点b4ac－b2－2a，4a

1
对称性 图像关于直线 x＝－b成轴对称图形
2a

幂函数

形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中 x是自变量，α是常数．

4．幂函数的图像及性质

(1)幂函数的图像比较

(2)幂函数的性质比较

y＝x2y＝x31y＝xy＝x2定义域RRR[0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数x∈[0，＋∞)单调性增时，增；x∈(－增增∞，0]时，减[难点正本疑点清源]1．二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式．(3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便．

－1
y＝x

{x|x∈R且x≠0}

{y|y∈R且y≠0}

奇函数

x∈(0，＋∞)

时，减；x∈(－

∞，0)时，减

2．幂函数的图像

(1)在(0,1)上，幂函数中指数 越大，函数图像越靠近 x轴，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图像越远

离x轴．

(2)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1可作为研究和学习幂函数图像和性质的代表．

2

1．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围为____________．答案(－∞，－2]解析f(x)的图像的对称轴为x＝1－a且开口向上，

1－a≥3，即a≤－2.

2．(课本改编题)已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________．答案[1,2]解析y＝x2－2x＋3的对称轴为x＝1.

m<1时，y＝f(x)在[0，m]上为减函数．

ymax＝f(0)＝3，ymin＝f(m)＝m2－2m＋3＝2.

m＝1，无解．

1≤m≤2时，ymin＝f(1)＝12－2×1＋3＝2，

ymax＝f(0)＝3.

m>2时，ymax＝f(m)＝m2－2m＋3＝3，

∴m＝0，m＝2，无解．∴1≤m≤2.

3．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图像不经过原点，则实数m的值为________．答案1或2m2－3m＋3＝1解析由，解得m＝1或2.m2－m－2≤0经检验m＝1或2都适合．4．(人教A版教材例题改编)如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图1C1，C2，C3，C4的n值依次为像．已知n取±2，±四个值，则相应于曲线2____________．答案2，1，－1，－222解析可以根据函数图像是否过原点判断n的符号，然后根据函数凸凹性确定n的值．5．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝－2B．m＝2C．m＝－1D．m＝1答案A解析函数f(x)＝x2mm1，即m＝－2.＋mx＋1的图像的对称轴为x＝－2，且只有一条对称轴，所以－2＝

3

题型一求二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数．思维启迪：确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用．解方法一设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，4a＋2b＋c＝－1，a＝－4，a－b＋c＝－1，解之，得b＝4，依题意有4ac－b2c＝7，4a＝8，∴所求二次函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二设f(x)＝a(x－m)2＋n，a≠0.∵f(2