微积分(数学分析)练习题及答案doc.doc

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统计专业和数学专业数学分练习题
计算题
1.试求极限
2.试求极限
3.试求极限
4.试讨论
5.试求极限
6.,有连续的偏导数，求
7.求
8.求抛物面在点处的切平面方程与法线方程.
9.求在处的泰勒公式.
10.求函数的极值.
11.叙述隐函数的定义.
12.叙述隐函数存在唯一性定理的内容.
13.叙述隐函数可微性定理的内容.
14.利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.
15.讨论笛卡儿叶形线

所确定的隐函数的一阶与二阶导数.
16.讨论方程

在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数.
17.设函数,方程
.
(1)验证在点附近由上面的方程能确定可微的隐函数和;
(2)试求和,以及它们在点处的值.
18.讨论方程组

在点近旁能确定怎样的隐函数组，并求其偏导数。
19.设方程组

问在什么条件下,
(1)由方程组可以唯一确定是的可微函数?
(2)由方程组可以唯一确定是的可微函数?
20.求球面与锥面所截出的曲线的点处的切线与法平面方程。
21.求曲面在点处的切平面与法线方程.
22.抛物面被平面截成一个椭圆.求这个椭圆到原点的最长与最短距离.
23.叙述含参量的正常积分定义.
24.叙述含参量的正常积分的连续性定理的内容.
25.叙述含参量的无穷限反常积分定义.
26.叙述含参量的无穷限反常积分的一致收敛性定义.
27.叙述含参量的无穷限反常积分的一致收敛的柯西收敛准则.
28.叙述含参量反常积分一致收敛的狄利克雷判别法.
29.叙述含参量反常积分一致收敛的阿贝尔判别法.
30.叙述含参量反常积分的可积性定理内容.
31.求
32.计算积分.
33.计算

并由此计算

34.利用公式,计算
.
35.利用可微性计算关于参数的含参量反常积分
.
并由此计算

36.计算，其中L为单位圆周.
37.计算，其中L为从(0,0,0)到(1,2,3)的直线段.
38.求积分,其中曲线与轴围成的面积为.

39.求,其中.
40.求全微分的原函数.
41.求其中由围成.
42.求,其中由,所围成的有界闭区域.
43.求与所围成区域的面积.
44.求,其中是.
45.求,其中由所围成的有界闭区域.
46.求,其中.
47.求,S是,取球面的外侧为正侧.
48.设具有连续导数,求
.
其中为所围立体的表面的外侧.
49.求,其中是的表面,取外侧为正侧.
50.计算积分，其中S是椭球面的
外侧.

1.试求极限
解
.
2.试求极限
解由
.
3.试求极限
解由于
,
又,
所以
，,

所以
.
4.试讨论
解当点沿直线趋于原点时，
.
当点沿抛物线线趋于原点时，
.
因为二者不等，所以极限不存在.
5.试求极限
解由

=.
6.,有连续的偏导数，求
解令
则

7.求
解由

.
8.求抛物面在点处的切平面方程与法线方程。
解由于
,
在处，
所以,切平面方程为
.
即

法线方程为
.
9.求在处的泰勒公式.
解由

.
得
.
10.求函数的极值.
解由于

解得驻点，

所以是极小值点,极小值为
11.叙述隐函数的定义.
答:设，，函数对于方程,若存在集合与，使得对于任何，恒有唯一确定的，使得满足方程,则称由方程确定了一个定义在上，值域含于的隐函数。一般可记为且成立恒等式

12.叙述隐函数存在唯一性定理的内容.
答:若满足下列条件:
（i）函数F在以为内点的某一区域上连续;
（ii）（通常称为初始条件）;
（iii）在D内存在连续的偏导数;
（iv）0,
则在点的某邻域内，方程=0唯一地确定了一个定义在某区间内的函数（隐函数），使得
1º,时且；
2°在内连续.
13.叙述隐函数可微性定理的内容.
答:若满足下列条件:
（i）函数F在以为内点的某一区域上连续;
（ii）（通常称为初始条件）;
（iii）在D内存在连续的偏导数;
（iv）0,
又设在D内还存在连续的偏导数，则由方程所确定的隐函数在在其定义域内有连续导函数，且

14.利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.
答:设在的某邻域内有连续的导函数，且;考虑方程

由于
,,
所以只要，就能满足隐函数定理的所有条件，这时方程能确定出在的某邻域内的连续可微隐函数，并称它为函数的反函数.反函数的导数是

15.解:显然及在平面上任一点都连续，由隐函数定理知道，在使得的点附近，方程都能确定隐函数；所以，它的一阶与二阶导数如下：
对方程求关于的导数（其中是的函数）并以3除之，得
,
或
（1）
于是
（2）
再对（1）式求导，得：即
（3）
把（2）式代入（3）式的右边，得

再利用方程就得到

16.解:由于处处连续，根据隐函数定理18.3，