微积分习题之常微分方程.doc

第八部分常微分方程第页共NUMPAGES16页

[填空题]
1．微分方程的通解为。
2．过点且满足关系式的曲线方程为
。
3．微分方程的通解为。
4．设是线性微分方程的三个特解，且，则该微分方程的通解为
。
5．设是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为，则该微分方程的通解为。
6．设出微分方程的一个特解形式
。
7．微分方程的通解为。
8．微分方程的通解为。
9．函数满足的二阶线性常系数齐次微分方程为。
10．若连续函数满足关系式，则。
[选择题]
11．设曲线积分与路径无关，其中具有一阶连续导数，且，则等于[]
(A)。(B)。
(C)。(D)。
答B
注：根据题意，，解得。由，得，所以，即选项(B)正确。
12．若函数是微分方程的一个特解，则该方程满足初始条件的特解为[]
(A)。(B)。
(C)。(D)。
答D
注：根据解的结构，通解为，由得。故选项(D)正确。
其他选项经验证不满足方程或定解条件。
13．设函数是微分方程的两个不同特解，则该方程的通解为[]
(A)。(B)。
(C)。(D)。
答D
注：因为是微分方程的两个不同特解，所以是该方程的一个非零特解。根据解的结构，其通解为，即选项(D)正确。另：根据通解定义，选项(A)中有两个任意常数，故其不对。当时，选项(B)不对。当时，选项(C)不对。
14．已知函数在任意点处的增量，则等于[]
(A)。(B)。(C)。(D)。
答D
注：根据微分定义及微分与导数的关系得，解得，由，得，所以。因此选项(D)正确。
15．设函数是微分方程的一个解。若，则函数在点[]
(A)取到极大值。(B)取到极小值。
(C)某个邻域内单调增加。(D)某个邻域内单调减少。
答A
注：因为，，所以选项(A)正确。
16.设是二阶常系数线性齐次方程的两个特解，是两个任意常数，则下列命题中正确的是[]
（A）一定是微分方程的通解。
（B）不可能是微分方程的通解。
（C）是微分方程的解。
（D）不是微分方程的解。
答C
注：根据叠加原理，选项（C）正确，选项（D）错误。当线性相关时，选项（A）错误,当线性无关时，选项（B）错误。
17.微分方程的一个特解应具有形式[]
(A)。(B)。
(C)。(D)。
答B
注：相应齐次方程的特征根为，所以的一个特解形式为，的一个特解形式为。根据叠加原理，原方程的一个特解形式为，即选项(B)正确。其他选项经检验不满足方程。
18.具有特解的三阶线性常系数齐次微分方程是[]
(A)。(B)。
(C)。(D)。
答B
注：根据题意，是特征方程的两个根，且是重根，所以特征方程为。故所求微分方程为，即选项(B)正确。
19.设是三阶线性常系数齐次微分方程的两个特解，则的值为[]
(A)。(B)。
(C)。(D)。
答C
注：根据题意，是特征方程的两个根，且是重根，所以特征方程为。故原微分方程应为，所以即选项(C)正确。
20.设二阶线性常系数齐次微分方程的每一个解都在区间上有界，则实数的取值范围是[]
(A)。(B)。(C)。(D)。
答A
注：因为当时，，所以，当时，要想使在区间上有界，只需要，即。当时，要想使在区间上有界，只需要与的实部大于等于零，即。当时，在区间上有界。当时，在区间上无界。综上所述，当且仅当时，方程的每一个解都在区间上有界，即选项(A)正确。

[解答题]
21．求微分方程的通解。
解：方程两端同乘以，得
，
此方程是一个变量分离方程，其通解为
。
22．求微分方程的通解。
解：这是一个一阶线性微分方程，求解其相应的齐次方程
，
得其通解为
，即。
令，代入原方程，得
，
解得
。
所以原方程的通解为
。
注：本题也可直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得
。
23．求解微分方程。
解：将看成自变量，看成是的函数，则原方程是关于未知函数的一阶线性微分方程
，
此方程通解为
，
其中是任意常数。`
24．求微分方程满足初始条件的特解。
解：将原方程变形，得
，
这是一个齐次型方程。令，代入上式，得
，
分离变量，得
，
积分，得
，
即
。
因为，所以。于是所求特解为
。
25．设施微分方程的一个解，求此微分方程满足条件的特解。
解：将代入原方程，得
，
解出
。
所以原方程为
，
解其对应的齐次方程，得
。
所以原方程的通解为
。
由，得。故所求特解为
。
26．求微分方程的通解。
解：将原方程化为
，
这是一个伯努利方程。令，则原方程化为
。
这是一个一阶线性微分方程，解得
，
所以原微分方程的通解为
。
27．求微分方程的通解。
解：将看成自变量，则是的函数。由于原方程是齐次型方程，令，原微分方程化为
，
这是一个变量可分离的方程，解得
。
所以原方