高二数学下学期第5周教学设计(导数知识点题型归纳小结).doc

四川省宜宾市一中2015-2016学年度下期高二数学第五周教学设计
（导数知识点题型归纳小结）
一：知识点小结
1、函数的平均变化率为
注1：其中是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数在处的瞬时变化率是，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.

3、函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4、导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
5、常见的函数导数和积分公式
函数导函数06、常见的导数和定积分运算公式:若，均可导，则有：
和差的导数运算积的导数运算
特别地：商的导数运算
特别地：复合函数的导数6、用导数求函数单调区间的步骤:
①求函数f(x)的导数②令>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7、求可导函数f(x)的极值的步骤：
(1)确定函数的定义域。(2)求函数f(x)的导数(3)求方程=0的根(4)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值

8、.利用导数求函数的最值的步骤:
求在上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求在上的极值；⑵将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；

二：题型小结
1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）
2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元
3、根分布
4、判别式法-----结合图像分析
5、二次函数区间最值求法-----（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系
（2）端点处和顶点是最值所在
一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立
此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：
第一步：令得到两个根；
第二步：画两图或列表；
第三步：由图表可知；
第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）。
例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，
（1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围；
（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.
解:由函数得

（1）在区间上为“凸函数”，
则在区间[0,3]上恒成立
解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于

解法二：分离变量法：
∵当时,恒成立,
当时,恒成立
等价于的最大值（）恒成立，
而（）是增函数，则

(2)∵当时在区间上都为“凸函数”
则等价于当时恒成立
变更主元法
再等价于在恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）
-2
2

例2：设函数
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.
解：（Ⅰ）

3a
a

a
3a

令得的单调递增区间为（a,3a）
令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+）
∴当x=a时，极小值=当x=3a时，极大值=b.
（Ⅱ）由||≤a，得：对任意的恒成立①
则等价于这个二次函数的对称轴（放缩法）
即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

上是增函数. （9分）
∴
于是，对任意，不等式①恒成立，等价于

又∴
点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系
例3：已知函数图象上一点处的切线斜率为，

（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，求的值域；
（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。
解：（Ⅰ）∴，解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减
又
∴的值域是
（Ⅲ）令
思路1：要使恒成立，只需，即分离变量
思路2：二次函数区间最值
二、参数问题
1、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1：转化为在给定区间上恒成立，回归基础题型
解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；
做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集
例4：已知，函数．
（Ⅰ）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值；
（Ⅱ）如果函数是上的单调函数，求的取值范围．
解：.
（Ⅰ）∵是偶函数，∴.此时，，
令，解得：.
列表如下：