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解析几何常见突破口
解析几何研究的问题是几何问题，研究的手法是代数法(坐标法)．因此，求解解析几何问题最大的思维难点是转化，即几何条件代数化．如何在解析几何问题中实现代数式的转化，找到常见问题的求解途径，即解析几何问题中的条件转化是如何实现的，是突破解析几何问题难点的关键所在．为此，从以下几个途径，结合数学思想在解析几何中的切入为视角，分析解析几何的“双管齐下”，突破思维难点．
考点一利用向量转化几何条件
[典例]如图所示，已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问：是否存在斜率为1的直线l，使l与圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点？若存在，写出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
[解题观摩]假设存在斜率为1的直线l，使l与圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．
设直线l的方程为y＝x＋b，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋b，,x2＋y2－2x＋4y－4＝0，))消去y并整理得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，
所以x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝eq\f(b2＋4b－4,2).①
因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0.
又y1＝x1＋b，y2＝x2＋b，
则x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0.
由①知，b2＋4b－4－b(b＋1)＋b2＝0，即b2＋3b－4＝0，解得b＝－4或b＝1.
当b＝－4或b＝1时，均有Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)＝－4b2－24b＋36＞0，
即直线l与圆C有两个交点．所以存在直线l，其方程为x－y＋1＝0或x－y－4＝0.
eq\a\vs4\al([关键点拨])
以AB为直径的圆过原点等价于OA⊥OB，而OA⊥OB又可以“直译”为x1x2＋y1y2＝0，可以看出，解此类解析几何问题的总体思路为“直译”，然后对个别难以“直译”的条件先进行“转化”，将“困难、难翻译”的条件通过平面几何知识“转化”为“简单、易翻译”的条件后再进行“直译”，最后联立“直译”的结果解决问题．
考点二角平分线条件的转化
[典例]已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，求证：直线l过定点．
[解题观摩](1)设动圆圆心为点P(x，y)，则由勾股定理得x2＋42＝(x－4)2＋y2，化简即得圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
(2)证明：法一：由题意可设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)．
联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝8x，))得k2x2＋2(kb－4)x＋b2＝0.由Δ＝4(kb－4)2－4k2b2＞0，得kb＜2.
设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(2kb－4,k2)，x1x2＝eq\f(b2,k2).
因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以kPB＋kQB＝0，
即kPB＋kQB＝eq\f(y1,x1＋1)＋eq\f(y2,x2＋1)＝eq\f(2kx1x2＋k＋bx1＋x2＋2b,x1＋1x2＋1)＝eq\f(8k＋b,x1＋1x2＋1k2)＝0，
所以k＋b＝0，即b＝－k，所以l的方程为y＝k(x－1)．故直线l恒过定点(1,0)．
法二：设直线PB的方程为x＝my－1，它与抛物线C的另一个交点为Q′，设点P(x1，y1)，Q′(x2，y2)，由条件可得，Q与Q′关于x轴对称，故Q(x2，－y2)．
联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my－1，,y2＝8x，))消去x得y2－8my＋8＝0，其中Δ＝64m2－32＞0，y1＋y2＝8m，y1y2＝8.
所以kPQ＝eq\f(y1＋y2,x1－x2)＝eq\f(8,y1－y2)，因而直线PQ的方程为y－y1＝eq\f(8,y1－y2)(x－x1)．
又y1y2＝8，yeq\o\al(2,1)＝8x1，将PQ的方程化简得(y1－y2)y＝8(x－1)，故直线l过定点(1,0)．
法三：由抛物线的对称性可知，如果定点存在，则它一定在x轴上，
所以设定点坐标为(a,0)，直线PQ的方程为x＝my＋a.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋a，,y2＝8x))消去x，
整理得y2－8my－8a＝0，Δ＞0.
设点P(x1，y1)，Q(x2