数值分析考试复习总结汇总.doc

第一章
误差
相对误差和绝对误差得概念
例题:
当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时,一般要经历哪几个阶段?在哪些阶段将有哪些误差产生?
答:实际问题-数学模型-数值方法-计算结果
在这个过程中存在一下几种误差:
建立数学模型过程中产生:模型误差参数误差
选用数值方法产生:截断误差
计算过程产生:舍入误差传播误差
6．设关于精确数有3位有效数字，估计的相对误差.对于，估计对于的误差和相对误差.
解的相对误差：由于
.,
.（）
对于的误差和相对误差.
==
.□
2有效数字
基本原则:1两个很接近的数字不做减法:
2:不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)
例题:
4．改变下列表达式使计算结果比较精确：
（1）
（2）
（3）.
解(1).(2).
(3).□
第二章
拉格朗日插值公式（即公式（1））

插值基函数（因子）可简洁表示为

其中:.
例1n=1时，线性插值公式，
例2n=2时，抛物插值公式

牛顿（Newton）插值公式
由差商的引入，知
过点的一次插值多项式为

其中

过点的二次插值多项式为

其中

重点是分段插值:

例题:
1.利用Lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：

（1）-101/21-3-1/201
（2）-101/21-3/2001/2解(2)：
方法一.由Lagrange插值公式

可得：
方法二.令

由，，定A，B（称之为待定系数法）□

15.设，求在区间上的分段线性插值函数，并估计误差，取等距节点，且.
解，，，
设，则：

误差估计：
.□
第三章
最佳一致逼近:(了解)
最佳平方逼近
主要分两种情形：
连续意义下
在空间中讨论
离散意义下
在维欧氏空间中讨论，只要求提供的样本值
最佳逼近多项式的法方程组
设的维子空间=span,
其中是的线性无关多项式系.
对，设其最佳逼近多项式可表示为:
由

即（*2）
其中

称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组（或正规方程组）.
由的线性无关性，可证明正定，即
上述法方程组的解存在且唯一.
11、求，的一次和二次最佳平方逼近多项式.
解：设，
分别为的一次、二次最佳平方逼近多项式。
内积
计算如下内积：
,,
,,
,,
建立法方程组：
(1)，得：，
于是
(2)
解得：，，,于是：.□
第四章
1为什么要进行数值积分?常用哪些公式,方法?
答:梯形复化求积公式和simpson复化求积公式.

2:方法好坏的判断:代数精度
误差分析
1.代数精度的概念
定义若求积公式（*）对所有次数的多项式是精确的，但对次多项式不精确，则称（*）具有次代数精度。
等价定义
若求积公式（*）对是精确的，但对不精确，则（*）具有次代数精度。
3:误差
1等距剖分下的数值求积公式：公式特点：节点预先给定，均匀分布,系数待定利用插值多项式近似代替，即得插值型求积公式Newton-Cotes公式
2给定节点数下的具有最佳逼近性质（具有最高次代数精度）的数值求积公式：Gauss求积公式公式特点：系数和节点均待定
3分段插值多项式近似代替（分段求积）复化求积公式

复化求积公式
通过高次求积公式提高精度的途径不行，类似函数插值
分而治之：分段＋低次求积公式----------称为复化求积法
两类低次（）求积公式：
Newton－Cotes型：矩形、梯形、Simpson、Cotes公式
分别称为复化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式
Gauss型：一点、两点、三点Gauss求积公式
称为复化一点、两点、三点Gauss公式
复化梯形公式（）复化辛甫生公式:（每个上用辛甫生公式求积）
，为的中点
复化辛甫生公式是最常用的数值求积方法。
常采用其等价形式：

复化柯特斯公式

其中，，为的中点，
，为的四等分的分点
自适应复化求积法
计算时，要预先给定或步长，在实际中难以把握
因为，取得太大则精度难以保证，太小则增加计算工作量.
自适应复化梯形法的具有计算过程如下：
步1
步2

步3判断？若是，则转步5；
步4，转步2；
步5输出.

第五章
1:常用方法:
(1).直接解法：
逐步（顺序）消去法、
主元素法、矩阵分解法等；
(2).迭代解法：构造某种极限过程去逐步逼近方程组的解
①.经典迭代法
迭代法、迭代法、
逐次超松弛（SOR）迭代法等；
②.Krolov子空间的迭代法
根据的对称性，又分为：
对称正定-------共轭梯度法
非对称---------BICG、GMRes(最小残量法)
③.解一类特定背景问题的迭代法
多重网格法
2:几类迭代法优缺点比较:

3:迭代方法
目标：求解 其中，非奇异。
基本思想：
把线性方程组的解，化为一个迭代序列极限解
关键：构造迭代序列所满足的公式：迭代格式。
构造迭代格式基