圆幂定理讲义(带复习资料).docx

圆幂定理
1:进门考
理念：1.检测垂径定理的基本知识点与题型。
2.垂径定理典型例题的回顾检测。
3.分析学生圆部分的薄弱环节。
（1）例题复习。
（2015•夏津县一模）一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径上，顶点A，B恰好都落在量角器的圆弧上，且∥．若8，则量角器的直径．

【考点】M3：垂径定理的应用；：勾股定理；T7：解直角三角形．
【分析】作⊥于点D，取圆心O，连接，作⊥于点E，首先求得的长，即的长，在直角△中，利用勾股定理求得半径的长，则即可求解．
【解答】解：作⊥于点D，取圆心O，连接，作⊥于点E．
在直角△中，∠30°，则4，在直角△中，∠90°﹣∠60°，
∴•4×=2（），∴2，
在△中，4，
则2（），则24（）．故答案是：4．

【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转化为解直角三角形．

（2017•阿坝州）如图将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕的长为（）

A．2 B． C．2 D．2
【考点】M2：垂径定理；：翻折变换（折叠问题）．
【分析】通过作辅助线，过点O作⊥交于点D，根据折叠的性质可知2，根据勾股定理可将的长求出，通过垂径定理可求出的长．
【解答】解：过点O作⊥交于点D，连接，
∵22，∴（），
∵⊥，∴22．故选：D．

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键．

（2014•泸州）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数的图象被⊙P截得的弦的长为，则a的值是（）

A．4B． C． D．
【考点】M2：垂径定理；F8：一次函数图象上点的坐标特征；：勾股定理．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】⊥x轴于C，交于D，作⊥于E，连结，由于3，，易得D点坐标为（3，3），则△为等腰直角三角形，△也为等腰直角三角形．由⊥，根据垂径定理得2，在△中，利用勾股定理可计算出1，则，所以3+．
【解答】解：作⊥x轴于C，交于D，作⊥于E，连结，如图，
∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴3，，
把3代入得3，∴D点坐标为（3，3），∴3，
∴△为等腰直角三角形，∴△也为等腰直角三角形，
∵⊥，∴×4=2，在△中，3，
∴，∴，∴3+．故选：B．

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．

（2013•内江）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线﹣34与⊙O交于B、C两点，则弦的长的最小值为．

【考点】：一次函数综合题．
【专题】16：压轴题．
【分析】根据直线﹣34必过点D（3，4），求出最短的弦是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出的长，再利用勾股定理求出，即可得出答案．
【解答】解：∵直线﹣34（x﹣3）+4，∴k（x﹣3）﹣4，
∵k有无数个值，∴x﹣3=0，y﹣4=0，解得3，4，
∴直线必过点D（3，4），∴最短的弦是过点D且与该圆直径垂直的弦，
∵点D的坐标是（3，4），∴5，
∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），∴圆的半径为13，
∴13，∴12，∴的长的最小值为24；故答案为：24．
【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出最短时的位置．

2:新课讲解

熟练掌握圆幂定理的基本概念。
熟悉有关圆幂定理的相关题型，出题形式与解题思路。
能够用自己的话叙述圆幂定理的概念。
通过课上例题，结合课下练习。掌握此部分的知识。

相交弦定理
相交弦定理
（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦、交于点P，则••（相交弦定理）

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成
的两条线段的比例中项．
几何语言：若是直径，垂直于点P，则2•（相交弦定理推论）．

基本题型：
（2014秋•江阴市期中）如图，⊙O的弦、相交于点P，若3，4，2，则长为（）

A．6 B．12 C．8 D．不能确定
【考点】M7：相交弦定理．
【专题】11：计算题．
【分析】由相交线定理可得出••，再根据3，4，2，可得出的长，从而得出即可．
【解答】解：∵••，
∴，
∵3，4，2，
∴6，
∴2+6=8．
故选C．
【点评】本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．

（2015•南长区一模）如图，矩形为⊙O的内接四边形，2，3，点E为上一点，且1，延长交⊙O于点F，则线