图形的相似知识点总结及练习.docx

相似三角形基本知识点总结及练习
知识点一：比例线段有关概念及性质
（1）有关概念
1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得、的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是＝m：n
例：已知线段2.5m,线段400，求线段与的比。

2.比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即（或a：：d），那么，这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。）
例：是成比例线段，其中236,求线段d的长度。

（2）比例性质
1.基本性质:（两外项的积等于两内项积）
2.反比性质：(把比的前项、后项交换)
3.更比性质(交换比例的内项或外项)：

4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）
如果，那么．
注意：(1)此性质的证明运用了“设法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．

例：已知

5.合比性质：（分子加（减）分母,分母不变）
．
知识点二：平行线分线段成比例定理

1.平行线分线段成比例定理：
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。
用符号语言表示：
∵,
∴

2.推论:平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例。

是“A”字型
是“8”字型
经常考，关键在于找

几何语言：由∥可得：.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.
例：如图，在四边形中，。

知识点三：相似形多边形
1.定义：各角分别相等、各边成比列的两个多边形叫做相似多边形。
2.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例。
3.判定：如果两个多边形的对应边成比列，对应角相等，那么这两个多边形相似。
（注意：判断两个多边形相似时，一要看各个角是否对应相等，二要看各条边是否对应成比列，这两个条件缺一不可。）
4.任意两个等边三角形相似，任意两个正方形相似，任意两个正n边形相似。
例1：下列判断正确的是（）
A.两个矩形一定相似。B.两个平行四边形一定相似。
C.两个正方形一定相似。D.两个菱形一定相似。

例2：小明将一张报纸对折，发现对折后的半张报纸与整张报纸相似，你能算出报纸的长与宽的比吗？

知识点四：黄金分割
定义：在线段上，点C把线段分成两条线段和，如果，即2×，那么称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比。
所以：≈0.618。
例：已知线段10,点C是的黄金分割点，且＞，求和的长。

(2）黄金分割的几何作图：已知：线段.求作：点C使C是线段的黄金分割点.
作法：①过点B作⊥，使；
②连结，在上截取；

③在上截取，则点C就是所求作的线段的黄金分割点.黄金分割的比值为：.

（3）黄金矩形：在矩形中，如果宽与长的比是黄金比，那么这个矩形叫做黄金矩形。
（4）黄金三角形：顶角为36。的等腰三角形叫做黄金三角形，因为该三角形的底边比上腰长等于
例：如图，△中，∠36°，，是角平分线．
(1)求证：2·；
(2)若，求．

知识点五：相似三角形
相似三角形
（1）定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。
几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似（相似比为1）。
两个等腰直角三角形一定相似。
两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
（2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。
（3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。
如△与△相似，记作△∽△。相似比为k。
（4）判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2.三角形相似的判定定理：
判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似。(此定理用的最多)

几何语言：在△和△中
如果<<D,<<E，那么△∽△

判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
几何语言：（如上图）在△和△F中
如果<<D,且，那么△∽△

判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。
几何语言：（如上图）在△和△中
如果，那么△∽△
例1：如图，（1）若,则△∽△；（2）若∠E＝，则△∽△。

直角三角形相似判定定理:\o\(○,1).有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
\o\(○,2).斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
3.补充：直角三角形中的相似问题：
斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与