导数题型总结.doc

导数题型总结
1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）
2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元
3、根分布4、判别式法-----结合图像分析
5、二次函数区间最值求法-----（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系
（2）端点处和顶点是最值所在
一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立
此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：
第一步：令得到两个根；
第二步：画两图或列表；
第三步：由图表可知；
第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）。
例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，
（1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围；
（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.
解:由函数得

（1）在区间上为“凸函数”，
则在区间[0,3]上恒成立
解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于

解法二：分离变量法：
∵当时,恒成立,
当时,恒成立
等价于的最大值（）恒成立，
而（）是增函数，则

(2)∵当时在区间上都为“凸函数”
则等价于当时恒成立
变更主元法
再等价于在恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）
-2
2

例2：设函数
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.
解：（Ⅰ）

3a
a

a
3a

令得的单调递增区间为（a,3a）
令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+）
∴当x=a时，极小值=当x=3a时，极大值=b.
（Ⅱ）由||≤a，得：对任意的恒成立①
则等价于这个二次函数的对称轴（放缩法）
即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

上是增函数. （9分）
∴
于是，对任意，不等式①恒成立，等价于

又∴
点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系
例3：已知函数图象上一点处的切线斜率为，

（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，求的值域；
（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。
解：（Ⅰ）∴，解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减
又
∴的值域是
（Ⅲ）令
思路1：要使恒成立，只需，即分离变量
思路2：二次函数区间最值
二、参数问题
1、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1：转化为在给定区间上恒成立，回归基础题型
解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；
做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集
例4：已知，函数．
（Ⅰ）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值；
（Ⅱ）如果函数是上的单调函数，求的取值范围．
解：.
（Ⅰ）∵是偶函数，∴.此时，，
令，解得：.
列表如下：
(－∞,－2)－2(－2,2)2(2,+∞)+0－0+递增极大值递减极小值递增可知：的极大值为，的极小值为.
（Ⅱ）∵函数是上的单调函数，
∴，在给定区间R上恒成立判别式法
则解得：.
综上，的取值范围是.
例5、已知函数
（I）求的单调区间；
（II）若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想
解：（I）
1、
当且仅当时取“=”号，单调递增。
2、
a-1
-1

单调增区间：
单调增区间：

（II）当则是上述增区间的子集：
1、时，单调递增符合题意
2、，
综上，a的取值范围是[0，1]。
2、题型二：根的个数问题
题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点，即方程根的个数问题
解题步骤
第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；
第三步：解不等式（组）即可。
例6、已知函数，，且在区间上为增函数．
求实数的取值范围；
若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．
解：（1）由题意∵在区间上为增函数，
∴在区间上恒成立（分离变量法）
即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为
（2）设，

令得或由（1）知，
①当时，，在R上递增，显然不合题意…
②当时，，随的变化情况如下表：
—↗极大值↘极小值
↗由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即∴，解得
综上，所求的取值范围为

根的个数知道，部分根可求或已知。
例7、已知函数
（1）若是的极值点且的图像过原点，求的极值；
（2）若，在（1）的条件下，是否存在实数，使得