计算机图形学曲线和曲面公开课获奖课件.pptx

第4章 曲线和曲面曲线或曲面分为两大类：
规则曲线或曲面：可以用一种确切曲线或曲面方程式来表达。例如，圆和球面、椭圆和椭球面、抛物线和抛物面、正弦曲线、摆线、螺线等。
不规则曲线或曲面：不能确切给出描述整个曲线或曲面方程，是由实际测量中得到一系列离散数据点用拟合措施来迫近。一般采用分段多项式参数方程来表达，由此形成一条光滑持续曲线或曲面，称为样条曲线或曲面。例如Hermite样条曲线或曲面、Bezier样条曲线或曲面、B样条曲线或曲面等。一、直角坐标表达
1、显式：y=f(x)，如y=sin(x)。
2、隐式：f(x,y)=0，如x2+y2=1。
3、转换成参数坐标表达：
①一般形式：③隐式表达f(x,y)=0曲线转换成参数坐标表达：二、极坐标表达
对任意极坐标曲线ρ=ρ(θ)，可运用极坐标与直角坐标变换关系式：
x=ρcosθ
y=ρsinθ极坐标与直角坐标变换关系式为：
x=ρcosθ
y=ρsinθ三、参数坐标表达
曲线参数坐标一般表达为：
x=x(t)
y=y(t)4.1.2参数样条曲线或曲面常用术语3．插值与迫近
插值措施规定建立曲线或曲面数学模型，严格通过已知每一种型值点。而迫近措施建立曲线或曲面数学模型只是近似地靠近已知型值点。5．参数持续性与几何持续性
设计一条复杂曲线时，常常通过多段曲线组合而成，这需要处理曲线段之间光滑连接问题。为保证分段参数曲线从一段到另一段平滑过渡，可以在连接点处规定多种参数持续性条件。0阶参数持续性：记作C0持续，是指曲线相连，即前一种曲线段终点与后一种曲线段起点相似。P(1)=Q(0)
一阶参数持续性：记作C1持续，是指两个相邻曲线段在连接点处有相似一阶导数。P’(1)=Q’(0)
二阶参数持续性：记作C2持续，是指两个相邻曲线段在连接点处有相似一阶和二阶导数。P’(1)=Q’(0)且P’’(1)=Q’’(0)连接两个相邻曲线段另一种措施是指定几何持续性条件。这种状况下，只需相邻两个曲线段在连接点处参数导数成比例而不是相等。一阶几何持续性：记为G1持续，指两个相邻曲线段在连接点处一阶导数成比例但不一定相等。P’(1)=Q’(0)(>0)
二阶几何持续性：记为G2持续，指两个相邻曲线段在连接点处一阶导数和二阶导数均成比例但不一定相等。P’(1)=Q’(0)且P’’(1)=Q’’(0)(>0，>0)4.2二次插值样条曲线4.2.1二次插值样条曲线数学表达式确定系数A1、A2、A3三个独立条件：根据以上设定三个独立条件，可以列出方程组：
t=0：P(0)=A1=P1
t=1：P(1)=A1+A2+A3=P3(4-2)
t=0.5：P(0.5)=A1+0.5A2+0.25A3=P2把求出三个系数代入到式(4-1)中，可得：
P(t)=A1+A2t+A3t2
=P1+(4P2–P3–3P1)t+(2P1+2P3–4P2)t2(0≤t≤1)
=(2t2–3t+1)P1+(–4t2+4t)P2+(2t2–t)P3(4-4)式(4-5)中P(t)是一种点向量，在二维平面上它包括了两个坐标值[x(t),y(t)]，故式(4-5)直观形式可以写成如下形式：例题：已知平面三点P1(10,5)，P2(20,20)，P3(40,15)，求这3点确定二次插值样条曲线。
解：曲线方程为：4.2.2二次插值样条曲线加权合成第i条抛物线段通过Pi、Pi+1、Pi+2三点，其表达式为：
Si(ti)=(2ti2–3ti+1)Pi+(4ti–4ti2)Pi+1+(2ti2–ti)Pi+2(0≤ti≤1)
(4-7)一般来说，每两段曲线之间搭接区间，两条抛物线是不也许重叠。Si和Si+1两条抛物线在Pi+1和Pi+2两点之间为搭接区间，在该区间内，Si和Si+1不太也许自然地重叠成一条曲线。在加权合成过程中，首先要选择两个合适权函数。这里选择两个权函数分别设为f(T)和g(T)，加权合成后曲线用Pi+1(t)表达，则：
Pi+1(t)=f(T)·Si(ti)+g(T)·Si+1(ti+1)(4-9)这样，式(4-9)可改写为：
Pi+1(t)=(1–T)·Si(ti)+T·Si+1(ti+1)(4-10)其中：
Si(t+0.5)=(2t2–t)Pi+(1–4t2)Pi+1+(2t2+t)Pi+2
Si+1(t)=(2t2–3t+1)Pi+1+(4t–4t2)Pi+2+(2t2–t)Pi+34.2.3二次插值样条曲线端点条件②自由端条件
让补点P0和Pn+1与原两端点P1和Pn分别重叠，即：
P0=P1
Pn+1=Pn③形成封闭曲线
在n个型值点之间形成封闭曲线，要生成n个曲线段，而不是本来n–1段。因此在补点中要增长3个点，首先让首尾两点重叠，然后各向前后延长一点，即：
Pn+1=P1
P0=Pn
Pn+2=