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数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong译 由于时间仓促,错误之处在所难免 2.9根据柯西分布有 当很大时,所以有 (b) 当 当, 因此有: 2.10(a) (b) (c)因为n→∞,不是高斯分布,因此中心极限定理不适用,原因是柯 西分布没有有限的差异。 2.11假定是实值随机过程。复值过程的处理也类似。 (a) (b)当x(t),y(t)不相关时, 同理 因此 (3)当x(t),y(t)不相关并且零均值时: 2.12随机过程x(t)的功率谱密度为: 滤波器输出功率谱密度为: 因此滤波器输出总功率为: 2.14 令 因此 2.16滤波器的传递函数为: (a) (b) 令a=RC,v=2πf.那么 2.19因为 输出序列的自相关: 这里的最后等式来自于X(n)的自相关函数: 因此 离散时间系统的频率响应为: 综上,系统输出的功率密度谱为: 2.20已知 功率密度谱为: 2.21本题中引用下标d表示离散过程,下标a表示连续时间过程,同样,f表示模拟频率。fd表示离散频率。 (a) 因此取样信号的自相关函数等于X(t)的取样自相关函数。 (b) 令fd=fT,则有: 又因为离散时间的自相关函数是它的功率谱密度的反变换,于是有: 比较(1),(2):得 (c)从(3)式可以得出: 否则出现混叠。 2.22(a) (b)如果那么: K=0 其他 因此序列X(n)是白噪声序列,T的最小值可以从下图的取样过程的功率谱密度得到 为了得到一个谱平坦序列,最大的抽样速率应满足: (c)可由得到。 因此, 2.23假设那么: 这里Y(f)是y(t)的傅里叶变换,因为: 又 有: 当f=0时: 2.24 由于G=1,有 对低通滤波器,可得到: 将H(f)代入可得下式 3.4要证而 利用不等式 当且仅当可得 因为 3.6通过定义,差熵为: 对均匀分布随机变量 (a)a=1,H(X)=0 (b)a=4,H(X)=log4=2log2 (c)a=1/4,H(X)=log=-2log2 3.7(a) (b)每信源字符的平均二进制个数为: (c)信源熵为: 通过比较,信源熵要少于每个码字的平均长度。 3.9(a) (b) 3.11(a)P(x)可以通过求得。 因此 类似地可证明 (b)利用不等式和,可以得到 将不等式两边乘以P(x,y)并对x,y求和,即可得 故有 当=1时取等号。 (c) 从(b)联立两个关系式可得: 当x,y独立取等号。 3.13 对于平稳过程和中n是独立的,因此就有 3.18在给定的下,的条件互信息可定义为: 又 因为有: 3.19假设a>0,已知Y=aX+b是线性变换, 有 令那么 同理,当a<0时,有: 3.20线性变换 因为{yi}和{xi}有相同的概率分布,即有 因此DMS的熵通过线性变换是不产生影响的。 3.21(a)霍夫曼码的设计如下, 平均比特率: (b)一次编码两个电平符号,霍夫曼码的设计如下: 每电平对的二进制平均比特数为: 一个电平的平均比特数为: (c) 因为 3.25采用Lempel-Ziv编码方法分解题中序列,可以得到一下码段: 0,00,1,001,000,0001,10,00010,0000,0010,00000,101,00001,000000,11,01,0000000,110,... 码段数是18,对每一码段需要5位加一个附加位来表征一个新的信源输出。 3.27因为可得 下图描述了R(D)在取0,1,2,3时的值,从图中可看出,增加,失真率也在增加。 3.30(a) 由于X,G是相互独立,因此有p(x,g)=p(x)p(g),p(x|g)=p(x). (b) 因为X,G是相互独立,所以Y也是独立, 由于Y=X+G,有 所以: 这里,利用了 从H(Y),H(Y|X), 3.31 3.36 3.38一阶预测器系数a11对预测数据的预测误差的正交性可使得均方误差减小: 最小均方误差为: (b)对二阶预测器, 根据Levinson-Durbin算法 最小均方误差为: 3.39 如果用相同的间隔长度分别量化,所需要的电平数为: 比特数: 利用矢量量化,有,,比特差: 3.41X,Y的联合概率密度函数为:边缘分布P(x): 当, 当, 的图如下: 根据对称性:

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