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Proakis的数字通信第四版的习题答案(中文版).doc

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数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong译



由于时间仓促,错误之处在所难免


2.9根据柯西分布有






当很大时,所以有
(b)
当

当,
因此有:
2.10(a)


(b)
(c)因为n→∞,不是高斯分布,因此中心极限定理不适用,原因是柯

西分布没有有限的差异。

2.11假定是实值随机过程。复值过程的处理也类似。
(a)
(b)当x(t),y(t)不相关时,

同理
因此
(3)当x(t),y(t)不相关并且零均值时:

2.12随机过程x(t)的功率谱密度为:

滤波器输出功率谱密度为:
因此滤波器输出总功率为:

2.14

令

因此
2.16滤波器的传递函数为:
(a)

(b)

令a=RC,v=2πf.那么



2.19因为


输出序列的自相关:

这里的最后等式来自于X(n)的自相关函数:

因此

离散时间系统的频率响应为:

综上,系统输出的功率密度谱为:

2.20已知


功率密度谱为:









2.21本题中引用下标d表示离散过程,下标a表示连续时间过程,同样,f表示模拟频率。fd表示离散频率。
(a)



因此取样信号的自相关函数等于X(t)的取样自相关函数。
(b)







令fd=fT,则有:





又因为离散时间的自相关函数是它的功率谱密度的反变换,于是有:

比较(1),(2):得


(c)从(3)式可以得出:


否则出现混叠。
2.22(a)






(b)如果那么:
K=0

其他
因此序列X(n)是白噪声序列,T的最小值可以从下图的取样过程的功率谱密度得到

为了得到一个谱平坦序列,最大的抽样速率应满足:

(c)可由得到。

因此,

2.23假设那么:


这里Y(f)是y(t)的傅里叶变换,因为:


又

有:

当f=0时:



2.24


由于G=1,有

对低通滤波器,可得到:



将H(f)代入可得下式







3.4要证而


利用不等式



当且仅当可得

因为

3.6通过定义,差熵为:

对均匀分布随机变量

(a)a=1,H(X)=0
(b)a=4,H(X)=log4=2log2
(c)a=1/4,H(X)=log=-2log2
3.7(a)

(b)每信源字符的平均二进制个数为:

(c)信源熵为:

通过比较,信源熵要少于每个码字的平均长度。

3.9(a)

(b)




3.11(a)P(x)可以通过求得。
因此



类似地可证明
(b)利用不等式和,可以得到
将不等式两边乘以P(x,y)并对x,y求和,即可得

故有



当=1时取等号。

(c)

从(b)联立两个关系式可得:


当x,y独立取等号。

3.13















对于平稳过程和中n是独立的,因此就有


3.18在给定的下,的条件互信息可定义为:

又






因为有:

3.19假设a>0,已知Y=aX+b是线性变换,

有

令那么




同理,当a<0时,有:

3.20线性变换

因为{yi}和{xi}有相同的概率分布,即有

因此DMS的熵通过线性变换是不产生影响的。
3.21(a)霍夫曼码的设计如下,











平均比特率:

(b)一次编码两个电平符号,霍夫曼码的设计如下:

每电平对的二进制平均比特数为:
一个电平的平均比特数为:


(c)

因为

3.25采用Lempel-Ziv编码方法分解题中序列,可以得到一下码段:
0,00,1,001,000,0001,10,00010,0000,0010,00000,101,00001,000000,11,01,0000000,110,...
码段数是18,对每一码段需要5位加一个附加位来表征一个新的信源输出。

3.27因为可得

下图描述了R(D)在取0,1,2,3时的值,从图中可看出,增加,失真率也在增加。


3.30(a)

由于X,G是相互独立,因此有p(x,g)=p(x)p(g),p(x|g)=p(x).




(b)

因为X,G是相互独立,所以Y也是独立,


由于Y=X+G,有
所以:

这里,利用了

从H(Y),H(Y|X),


3.31



3.36













3.38一阶预测器系数a11对预测数据的预测误差的正交性可使得均方误差减小:

最小均方误差为:

(b)对二阶预测器,
根据Levinson-Durbin算法



最小均方误差为:

3.39

如果用相同的间隔长度分别量化,所需要的电平数为:
比特数:

利用矢量量化,有,,比特差:

3.41X,Y的联合概率密度函数为:边缘分布P(x):

当,

当,
的图如下:

根据对称性:

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