解三角形题型总结模板计划模板.doc

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解三角形题型总结模板计划模板

c
分析^p：因给出的是 a、b、c之间的等量关系，要求∠ A，需找∠A与三边的关系，故可用余
弦定理。由b2=ac可变形为
b2
=a，再用正弦定理可求
bsinB的值。
c
c
解法一：∵b2=ac。
a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。
b2
c2
a2
bc
1
在△ABC中，由余弦定理得：cosA=
2bc
=2bc=
，
2
∴∠A=60°。
在△ABC中，由正弦定理得
sinB=bsinA，∵b2=ac，
a
∠A=60°，
bsinB
b2sin60
3
∴
ac
=sin60=°。
c
2
解法二：在△ABC中，
由面积公式得
1
1
acsinB。
bcsinA=
2
2
b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB。
∴bsinB=sinA=
3。
c
2
评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理， 找两边两角之间的关系常用
正弦定理。
题型八：利用正、余弦定理判断三角形形状 ——边角互化问题
例1.在ABC
中，已知2sinAcosB
sinC，那么ABC一定是（
）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．正三角形
解法1：由2sinAcosB sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，
sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故选(B)．
解法2：由题意，得
cosB＝sinC
c，再由余弦定理，得
cosB＝a2
c2
2sinA
2a
2ac
∴
a2
c2
b2
＝
c
2
2
，即a
＝b，得a＝b，故选(B)．
2ac 2a
评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法⑵统一化为边，再判断(如解法2)．
例2.在
ABC中，若a
2
tanA，试判断△ABC的形状。
b
2
tanB
答案：故△ABC为等腰三角形或直角三角形。
练习1.在 ABC中，acosA bcos ，判断△ABC的形状。
答案： ABC为等腰三角形或直角三角形。

2
b ．
1)，
练习2、在 ABC中,a2sinB b2sinA，这个三角形是
三角形。
练习3、在 ABC中，a csinA且sinC 2sinAsinB,判断 ABC的形状。
题型九：三角形中最值问题
例1．ABC的三个内角为
A、B、C，求当A为何值时，cosA
2cosB
C取得最大值，
2
并求出这个最大值。
π
=sinA。
解析：由A+B+C=π，得B+C=－A，所以有cosB+C
2
2
2
2
2
B+C
A
2A
A
A
12
3
cosA+2cos
2
=cosA+2sin2
=1－2sin2
+2sin2=－2(sin2
－2)+
；2
当sinA
1，即A=π
B+C取得最大值为3。
2=
2
3
时,cosA+2cos2
2
点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，
通过三
角函数的性质求得结果。
练习. 设锐角 ABC的内角A、B、C的对边为a,b,c，a 2bsinA
（1）
求∠B的大小。
（2）求cosA
sinC的取值范围。
(3,3)
6
2
2
题型十、边角互化问题
1、在ABC中，已知2b=a+c，证明：2sinB=sinA+sinC
例2、在 ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，试证明： a=bcosC+ccosB
例
3、已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C
的对边，向量m
(3，1)，
n(cosA，sinA)．若mn，且acosBbcosA
csinC，则角B
．
例4、在

ABC

中，已知

BC=a，AC=b，且

a，b

是方程

2

23

2

0的两个根，
2cos(A

B)

1求：⑴角

C的度数

⑵AB的长
例

5.
已知

ABC的周长为

2 1，且sinA

sinB

2sinC

．
⑴求边

AB的长；⑵若

△ABC的面积为

1

sinC，求角

C的度数．
6
练习
1．设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB3，
bsinA4．⑴求边长a；⑵若ABC的面积S10，求ABC的周长l．
练习2.在
ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是
a，b，c，已知c2，C
．
3
（Ⅰ）若
ABC的面积等于
3，求a，b；（Ⅱ）若sinC
sin(BA)2sin2A，求
ABC
的面积
练习3.在ABC中a,b,c分别为
A,B,
C
的对边，若2sinA(cosBcosC)
3(sinBsinC)，
（1）求A的大小；（2）若a
61,b
c