高中数学第二章概率2.4正态分布课堂导学案新人教B版选修2.doc

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高中数学第二章概率2.4正态分布课堂导学案新人教B版选修2

2、4正态分布课堂导学三点剖析
一、利用标准正态表求正态总体在某一区间内的概率
【例1】
设测量一条道路长度的误差x（单位：m)服从正态分布N（-5，202），求：（1）误差的绝对值不超过30m的概率；（2）测得的长度小于道路真实长度的概率；（3）测得的长度比道路真实长度大35m的概率、（查表，可得Φ（
1、75）=0、95994,Φ(
1、25)=0、8944,Φ(2)=0、9772,Φ(0、25)=0、5987)解析：（1）P(|x|≤30)=P(-30≤x≤30)=Φ()-Φ()=Φ(
1、75)-Φ(-
1、25)=Φ(
1、75)+Φ(
1、25)-1=0、854
34、(2)由误差的定义：测量值=真实值+误差、可见，题意要求的概率为P（x<0）=Φ（）=Φ(0、25)=0、598
7、(3)题意要求的概率为P（x>35）=1-P(x≤35)=1-Φ()=1-Φ(2)=0、022
8、温馨提示求正态分布在某一区间的概率应先转化为标准正态分布、
二、利用正态曲线的性质解题
【例2】
设任一正态总体N（μ,σ2）中取值小于x的概率为F（x)，标准正态总体N（0，1）中，取值小于x0的概率为Φ（x0）、(1)证明F（x)可化为Φ（x0）计算、（2）利用正态曲线的性质说明：当x取何值时，正态总体N（μ,σ2）相应的函数f(x)=(x∈R)有最大值，其最大值是多少？（1）证明：由正态总体N（μ,σ）的概率密度函数可知F(x)=Φ（），即x0=、(2)解析：由正态曲线的单调性和对称性可知，正态总体N（μ,σ2）的概率密度函数f(x)在x=μ时，取到最大值、温馨提示注意正态曲线中μ,σ的几何意义、
三、小概率事件
【例3】
某厂生产的圆柱形零件的外直径ξ服从正态分布N（4,0、25），如果一批产品的合格率达到
99、7%以上就认为这批产品是合格的、质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽取一件，测得它的外直径为
5、7cm,试问该厂生产的这批零件是否合格？思路分析：要说明这批零件是否合格，就是要说明从这批零件中随机地取出一件，其尺寸是否落在规定的范围内、由正态分布的性质知，总体中个体取值的概率为
99、7%所对应的区间为（μ-3σ,μ+3σ）,故只需判断
5、7是否属于该区间即可、解：∵ξ~N（4，0、25），由正态分布的性质知，ξ的取值落在区间（μ-3σ,μ+3σ）之内的概率为
99、7%、由于μ=4,σ=0、5,∴μ-3σ=4-
30、5=
2、5,μ+3σ=4+
30、5=
5、5,即合格品的产品尺寸的取值范围是（
2、5,
5、5）、∵
5、7(
2、5,
5、5)，这说明在一次试验中小概率事件发生了，∴可以认为这批零件是不合格的、温馨提示发生概率一般不超过5%的事件，称为小概率事件，它在一次试验中几乎不可能发生、各个击破类题演练1某学校学生的数学竞赛成绩ξ服从正态分布N（42，36），如某个学生得48分，求成绩排在这名学生以后的学生占学生总数的百分比、解析：由ξ~N(42,36),则η=~N（0，1）、因此，P（ξ<48)=F(48)=Φ()=Φ(1)≈0、
84、因而有84%的学生成绩排在得48分的学生之后、变式提升1某县农民平均收入服从μ=500元，σ=20元的正态分布、求：（1）此县农民的年均收入在500~520元之间的人数的百分比、（2）此县农民年均收入超过540元的人数的百分比、解析：（1）∵正态曲线关于直线x=500对称，∴P（500<X≤520）=P(480<X≤520),=P(μ-σ<X<μ+σ),=0、6826=0、341
3、(2)∵正态曲线关于直线x=500对称，∴P(X>540)=P(X<460)=［P(X>540)+P(X<460)］=［1-P(460<X<540)］=［1-0、9544］=0、0456=0、022
8、类题演练2设随机变量ξ~N(μ,σ2),且P（ξ≤c）=P(ξ>c),求c、解析：∵正态分布中，落在数学期望μ两边的概率相等，∴c=μ、变式提升2如图为某地成年男性体重的正态曲线图，请写出其正态分布密度函数，并求P（|X-72|<20）、解析：由图可知，μ=72,σ=10,①φμ,σ(x)=π10,x∈(-∞,+∞),②P(|X-72|<20)=P(|X-μ|<2σ)=P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0、944
5、类题演练3已知某批建筑材料的强度ξ服从N（200，182）的正态分布，现从中任取一件时，求：（1）取得这件材料的强度不低于180的概率；（2）如果所用的材料要求以99%的概率保证强度不低于150，问这批材料是否符合这个要求？解析：（1）P（ξ≥180)=1-P(ξ<180