数列通项公式方法总结.doc

第页共NUMPAGES9页
数列通项公式方法总结

数列通项公式方法总结
导语：数列既是高中数学的重要内容，也是学习高等数学的基础，因此，每年高考对本章内容均作较全面的考查，而且经常是以综合题、主观题的形式出现，难度较大，以下是小编整理数列通项公式方法总结的资料，欢迎阅读参考。
不过一般分小题、有梯度设问，往往是第1小题就是求数列的通项公式，难度适中，一般考生可突破，争取分数，而且是做第2小题的基础，因此，求数列通项公式的解题方法、技巧，每一位考生都必须熟练掌握。求数列通项公式的题型很多，不同的题型有不同的解决方法。下面结合教学实践，谈谈求数列通项公式的解题思路。
一、已知数列的.前几项
已知数列的前几项，求通项公式。通过观察找规律，分析出数列的项与项数之间的关系，从而求出通项公式。这种方法称为观察法，也即是归纳推理。
例1、求数列的通项公式
（1）0，22——1/3，32——1/4，42＋1/5……
（2）9，99，999，……
分析：（1）0=12——1/2，每一项的分子是项数的平方减去1，分母是项数加上1，n2——1/n＋1＝n——1，其实，该数列各项可化简为0，1，2，3，……，易知an＝n——1。
（2）各项可拆成10-1，102-1，103-1，……，an＝10n——1。
此题型主要通过让学生观察、试验、归纳推理等活动，且在此基础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本质，从而培养学生的思维能力。
二、已知数列的前n项和Sn
已知数列的前n项和Sn，求通项公式an，主要通过an与Sn的关系转化，即an-{S1（n＝1）Sn-Sn——1（n≥2）
例2、已知数列{an}的前n项和Sn=2n+3，求an
分析：Sn=a1+a2+……+an——1+an
Sn——1＝a1+a2+……+an——1
上两式相减得Sn-Sn——1=an
解：当n=1时，a1=S1=5
当n≥2时，an=Sn-Sn——1=2n+3-（2n——1+3）=2n——1
∵n=1不适合上式
∴an={5（n=1）2n——1（n≥2）
三、已知an与Sn关系
已知数列的第n项an与前n项和Sn间的关系：Sn=f（an），求an。一般的思路是先将Sn与an的关系转化为an与an——1的关系，再根据与的关系特征分为如下几种类型。不同的类型，要用不同的方法解决。
（1）an=an——1+k。数列属等差数列，直接代公式可求通项公式。
例3、已知数列{an}，满足a1=3，an=an——1+8，求an。
分析：由已知条件可知数列是以3为首项，8为公差的等差数列，直接代公式可求得an=8n-5。
（2）an=kan——1（k为常数）。数列属等比数列，直接代公式可求通项公式。
例4、数列{an}的前n项和Sn,a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N+）
求数列{an}的通项公式。
分析：根据an与Sn的关系，将an+1=2Sn+1转化为an与an+1的关系。
解：由an+1=2Sn+1
得an=2Sn-1+1（n≥2）
两式相减，得an+1-an=2an
∴an+1=3an（n≥2）
∵a2=2Sn+1=3
∴a2=3a1
∴{an}是以1为首项，3为公比的等比数列
∴an=3n-1
（3）an+1=an+f（n），用叠加法
思路：令n=1，2，3，……，n-1
得a2=a1+f（1）
a3=a2+f（2）
a4=a3+f（3）
……
+）an=an——1+f（n-1）
an=a1+f（1）+f（2）+…+f（n-1）
例5、若数列{an}满足a1=2，an+1=an+2n
则{an}的通项公式=（）
解：∵an+1=an+2n
∴a2=a1+2×1
a3=a2+2×2
a4=a3+2×3
……
+）an=an——1+2（n-1）
an=a1+2（1+2+3+…+n-1）
=2+2×（1+n-1）（n-1）
=n2-n+2
（4）an+1=f（n）an，用累积法
思路：令n=1，2，3，……，n-1
得a2=f（1）a1a3=f（2）a2a4=f（3）a3
……
×）an=f（n-1）an-1
an=a1·f（1）·f（2）·f（3）……f（n-1）
例6、若数列{an}满足a1=1，an+1=2n+an，则an=（）
解：∵an+1=2nan∴a2=21a1
a3=22a2a4=23a3
……
×）an=2n——1·an——1
an=2·22·23·……·2n-1a1=2n（n-1）/2
（5）an=pan——1+q，an=pan——1+f（n）
an+1=an+p·qn（pq≠0），
an=p（an——1）q，an+1=ran/pan+q=（pr≠0，q≠r）
（p、q、r为常数）
这些类型均可用构造法或迭代法。
①an=pan——1+q（p、q为常数