DFT对称性的验证以及应用课程设计.doc

武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书

1DFT基础知识
1.1离散傅立叶变换（DFT）定义
在实际应用中，经常遇到的是有现场的非周期序列，需要知道的是如何获取有限长序列的离散频谱。事实上，完全可以借助离散傅里叶级数，来研究有限长序列频谱的离散化。
可以设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为：
正变换：
=DFT[]==

反变换：
=IDFT[]==

或
＝RN(k)＝RN(k)

x(n)=RN(n)=RN(n)

式中，N称为DFT变换区间长度，N≥M。DFT隐含有周期性。
1.2复共轭序列的DFT
设是的复共轭序列，长度为N，则
（1）已知
＝DFT[]
则
DFT[]=
且

（2）已知
＝DFT[]
则
DFT[]=
1.3DFT的共轭对称性
DFT有对称性，但由于DFT中讨论的序列及其离散傅立叶变换均为有限长序列，且定义区间为0到N-1，所以这里的对称性是指关于N/2点的对称性。下面讨论DFT的共轭对称性质。
1.3.1有限长共轭对称序列和共轭反对称序列
长度为的有限长序列,若满足
,（1.1）
称序列为共轭对称序列，一般用来表示。若满足
,（1.2）
称序列为共轭反对称序列，一般用来表示
即
=,0≤n≤N-1
=－,0≤n≤N-1
当N为偶数时，把代入式（1.1）与式（1.2），得
,（1.3）
,（1.4）
式（1.3）与式（1.4）说明共轭对称序列与其共轭序列以成偶对称，共轭反对称序列与其共轭序列以成奇对称。
当N为奇数时，把代入式（1.1）与式（1.2），得
,（1.6）,（1.6）
式（1.5）与式（1.6）说明共轭对称序列与其共轭序列以成偶对称，共轭反对称序列与其共轭序列以成奇对称。
设一长度为的有限长序列，令

则有
（1.7）
这说明任一有限长序列，都表示成一个共轭对称序列与共轭反对称序列的和，在频域下同样有类似结论
（1.8）
式中（1.9）
（1.10）
1.3.2共轭对称性分析
（1）当x(n)为长度N的复数序列时,有

=]
=(1.11)
同理可得
(1.12)
即

式（1.11）和（1.12）说明复数序列实数部分的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的共轭对称分量；复书序列虚数部分的离散傅立叶变换是原来序列离散傅里叶变换的共轭反对称分量。
另一方面，由式（1.7）知有限长序列可分解为共轭对称分量与共轭反对称分量，即
=+
可得其离散傅立叶变换

=（1.13）
同理可得

=（1.14）
即

上面两式说明复序列共轭对称分量序列的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的实数部分；复序列共轭对称分量的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的虚数部分。
综上可得到有限长复序列的DFT的共轭对称性质如下
①将有限长序列x(n)分成实部与虚部，即：

则：

②将有限长序列x(n)分成共轭对称部分和共轭反对称部分，即
=+，
则：

（2）当x(n)为长度N的实数序列或纯虚数序列时,有
当x(n)为实序列时，则

又据)的对称性：

有

当x(n)为纯虚序列时，则

又据)的对称性：

有

离散傅立叶变换的对称性，在求实序列的离散傅立叶变换中有重要作用。例如，有两个实数序列和，为求其离散傅立叶变换，可以分别用和作为虚部和实部构造一个复数序列x(n)，求出x(n)的离散傅立叶变换，然后根据式（1.9）和（1.10）得到的共轭对称分量和，分别对应和，从而实现一次DFT的计算可得到两个序列DFT的高效算法。而DFT可以通过一次快速FFT变换来实现。

2程序设计与分析
本次课设计分两个部分，一个是要验证N点的DFT的对称性，另一个是要用一次快速傅立叶变换FFT实现两个序列的DFT
2.1N点DFT对称性的验证
2.1.1程序流程图
由于函数ezplot只能画出既存在SymbolicMathToolbox中又存在于总matlab工具箱中的函数，而gedc（实信号分解为循环偶分量和循环奇分量）和dft(计算离散付利叶变换)仅存在SymbolicMathToolbox中，因此需要在自己的工作目录work下创建。此后可以直接调用这些函数。N点的DFT的对称性验证流程图如图2-1所示

开始

求x序列的共轭对称与反对称分量
画出共轭对称与反对称分量图形
求出X(K)，Xep，Xop
画出real(X(K)),imag(X(K))，Xep，Xop的图形

Xep

结束
图2-1验证对称性流程图
输入x序列

n=0:N-1

2.1.2程序编写与结果分析
首先在目录work下创建gedc的M文件，gedc的M文件是用来生成共轭对称分量与共轭反对称分量的，