高中数学高考复习导数及其应用.doc

PAGE页码35/NUMPAGES总页数35
高中数学高考复习导数及其应用
一、知识网络

二、高考考点1、导数定义的认知与应用；2、求导公式与运算法则的运用；3、导数的几何意义；4、导数在研究函数单调性上的应用；5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；6、导数在解决实际问题中的应用.三、知识要点〔一〕导数1、导数的概念〔1〕导数的定义〔Ⅰ〕设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x〔△x可正可负〕，则函数y相应地有增量，这两个增量的比，叫做函数在点到这间的平均变化率.如果时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数〔或变化率〕，记作，即.〔Ⅱ〕如果函数在开区间〔〕内每一点都可导，则说在开区间〔〕内可导，此时，对于开区间〔〕内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间〔〕内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间〔〕内的导函数〔简称导数〕，记作或，即.认知：〔Ⅰ〕函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值.〔Ⅱ〕求函数在点处的导数的三部曲：①求函数的增量；②求平均变化率；③求极限上述三部曲可简记为一差、二比、三极限.〔2〕导数的几何意义：函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率.〔3〕函数的可导与连续的关系函数的可导与连续既有联系又有区别：〔Ⅰ〕若函数在点处可导，则在点处连续；若函数在开区间〔〕内可导，则在开区间〔〕内连续〔可导一定连续〕.事实上，若函数在点处可导，则有此时，记,则有即在点处连续.〔Ⅱ〕若函数在点处连续，但在点处不一定可导〔连续不一定可导〕.反例：在点处连续，但在点处无导数.事实上，在点处的增量当时，，；当时，，由此可知，不存在，故在点处不可导.2、求导公式与求导运算法则〔1〕基本函数的导数〔求导公式〕公式1常数的导数：〔c为常数〕，即常数的导数等于0.公式2幂函数的导数：.公式3正弦函数的导数：.公式4余弦函数的导数：公式5对数函数的导数：〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕公式6指数函数的导数：〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕.〔2〕可导函数四则运算的求导法则设为可导函数，则有法则1；法则2；法则3.3、复合函数的导数〔1〕复合函数的求导法则设，复合成以x为自变量的函数，则复合函数对自变量x的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量u对自变量x的导数，即.引申：设，复合成函数，则有〔2〕认知〔Ⅰ〕认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出，由第一层中间变量的函数结构设出，由第二层中间变量的函数结构设出，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量为自变量x的简单函数为止.于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条：；〔Ⅱ〕运用上述法则求复合函数导数的解题思路①分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数；②求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；③还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理.二、导数的应用1、函数的单调性〔1〕导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内可导，则若为增函数；若为减函数；若在某个区间内恒有，则在这一区间上为常函数.〔2〕利用导数求函数单调性的步骤〔Ⅰ〕确定函数的定义域；〔Ⅱ〕求导数；〔Ⅲ〕令，解出相应的x的范围当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数.〔3〕强调与认知〔Ⅰ〕利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D.若由不等式确定的x的取值集合为A，由确定的x的取值范围为B，则应用；〔Ⅱ〕在某一区间内〔或〕是函数在这一区间上为增〔或减〕函数的充分〔不必要〕条件.因此方程的根不一定是增、减区间的分界点，并且在对函数划分单调区间时，除去确定的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点，它们也可能是增、减区间的分界点.举例：〔1〕是R上的可导函数，也是R上的单调函数，但是当x=0时，.〔2〕在点x=0处连续，点x=0处不可导，但在〔-∞，0〕内递减，在〔0，+∞〕内递增.2、函数的极值〔1〕函数的极值的定义设函数在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有，则说是函数的一个极大值，记作；如果对附近的所有点，都有，则说是函数的一个极小值，记作.极大值与极小值统称极值认知：由函数的极值定义可知：〔Ⅰ〕函数的极值点是区间内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得；〔Ⅱ〕极值是一个局部性概念；一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值；〔Ⅲ〕当函数在区间上连续且有有限个极值点时，函数在内的极大值点，极小值点交替出现.〔