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高三离心率专题含解析
椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率．
一、直接求出、，求解
已知圆锥曲线的标准方程或、易求时，可利用率心率公式来解2012年5月6日星期日决.
例1：已知双曲线〔〕的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为〔〕
A.B.C.D.
解：抛物线的准线是，即双曲线的右准线，则，解得，，，故选D

变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为、，则其离心率为〔〕
A.B.C.D.
解：由、知，∴，又∵椭圆过原点，∴，，∴，，所以离心率.故选C.
变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为〔〕
A.B.C.D
解：由题设，，则，，因此选C
变式练习3：点P〔-3，1〕在椭圆〔〕的左准线上，过点且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为〔〕
ABCD
解：由题意知，入射光线为，关于的反射光线〔对称关系〕为，则解得，，则，故选A
二、构造、的齐次式，解出
根据题设条件，借助、、之间的关系，构造、的关系〔特别是齐二次式〕，进而得到关于的一元方程，从而解得离心率.
例2：已知、是双曲线〔〕的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是〔〕
A.B.C.D.
解：如图，设的中点为，则的横坐标为，由焦半径公式，
即，得，解得
〔舍去〕，故选D
变式练习1：设双曲线〔〕的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为〔〕
A.B.C.D.
解：由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得，
又,∴,两边平方，得，整理得，
得或，又，∴，∴，∴，故选A
变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，，则双曲线的离心率为〔〕

ABCD
解：如图所示，不妨设，，，则
，又，
在中，由余弦定理，得,
即，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，故选B
三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解
例3：设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________.

解：
四、根据圆锥曲线的统一定义求解
例4：设椭圆〔〕的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，则椭圆的离心率是 .
解：如图所示，是过且垂直于轴的弦，∵于，∴为到准线的距离，根据椭圆的第二定义，
变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该椭圆的离心率为〔〕
ABCD
解：
五、构建关于的不等式，求的取值范围
例5：设，则二次曲线的离心率的取值范围为〔〕
A.B.C.D.
另：由，，得，,
∴,∴
∵，∴,∴，∴，故选D

例6：如图，已知梯形中，，点分有向线段所成的比为，双曲线过、、三点，且以、为焦点．当时，求双曲线离心率的取值范围.
解：以的垂直平分线为轴，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则轴.因为双曲线经过点、，且以、为焦点，由双曲线的对称性知、关于轴对称．依题意，记，，，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高．
由定比分点坐标公式得，，设双曲线的方程为，则离心率，由点、在双曲线上，所以，将点的坐标代入双曲线方程得①
将点的坐标代入双曲线方程得②
再将①、②得，∴③
④
将③式代入④式，整理得，∴，由题设得：
，解得，所以双曲线的离心率的取值范围为

配套练习
1.设双曲线〔〕的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为〔〕
A. B. C. D.
2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于〔〕
A． B． C． D．
3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为〔〕
ABCD
4．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为ABCD
5．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为〔〕
ABCD
6．如图，和分别是双曲线〔〕的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为〔〕
A B C D
8．设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使，且，则双曲线离心率为〔〕
A B C D
9．已知双曲线〔〕的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是〔〕
ABCD
10．椭圆〔〕的焦点为、，两条准线与轴的交点分别为、，若，则该椭圆离心率的取值范围是〔〕
A． B． C． D．

答案：1.由可得故选D
2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴，椭圆的离心率，选D.
3.双曲线焦点在x轴,由渐近线