2.5圆锥曲线的共同性质-学案(含答案).doc

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2.5圆锥曲线的共同性质学案（含答案）

2.5圆锥曲线的共同性质学习目标
1.理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题.2.了解圆锥曲线的统一定义，掌握圆锥曲线的离心率.焦点.准线等概念知识点圆锥曲线的共同性质思考圆锥曲线有怎样的共同性质如何研究圆锥曲线的共同性质答案如图，过点M作MHl，H为垂足，由圆锥曲线的统一定义可知MM|FMeMH取过焦点F，且与准线l垂直的直线为x轴，FO为坐标原点，建立直角坐标系设点M的坐标为x，y，则OM.设直线l的方程为xp，则MH|xp|.把，代入OMeMH，得e|xp|.两边平方，化简得1e2x2y22pe2xp2e
20.这就是圆锥曲线椭圆.双曲线.抛物线在直角坐标系中的共同性质梳理1圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线lF不在定直线l上的距离之比等于常数e.当0e1时，它表示椭圆；当e1时，它表示双曲线；当e1时，它表示抛物线其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线2椭圆1ab0的准线方程为x，1ab0的准线方程为y.双曲线1a0，b0的准线方程为x，双曲线1a0，b0的准线方程为y.1若平面内动点P到定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比是一个常数ee0，则动点P的轨迹是圆锥曲线2双曲线x2y21的准线方程为x.3.1上的点到左准线的距离是，则该点到右准线的距离是
8.4点Mx，y与定点F4,0的距离和它到直线lx的距离的比是常数，则点M的轨迹为
1.类型一已知准线求圆锥曲线的方程例1双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，两准线间的距离为4，且经过点A2，3，求双曲线的方程解1若焦点在x轴上，设双曲线的方程为1a0，b0，由已知得a22c，b2c2a2c22c.代入1，整理得c214c330，c3或c
11.a26，b23或a222，b2
99.双曲线的方程为1或
1.2若焦点在y轴上，设双曲线的方程为1a0，b0由已知得
1.将a22c，b2c22c代入1得，2c213c660，0，此方程无实数解综合12可知，双曲线的方程为1或
1.反思与感悟1
在此类题中，两准线间的距离是一个定值，不论双曲线位置如何，均可使用2已知准线方程或准线间距离求圆锥曲线方程，该条件使用方法有两个利用统一定义，直接列出基本量a，b，c，e的关系式跟踪训练1已知A，B是椭圆1上的点，F2是椭圆的右焦点，且AF2BF2a，AB的中点N到椭圆左准线的距离为，求此椭圆方程解设F1为左焦点，连结AF1，BF1，则根据椭圆定义知，AF1BF12aAF22aBF24aAF2BF24aaa.再设A，B，N三点到左准线距离分别为d1，d2，d3，由梯形中位线定理，得d1d22d
33.而已知b2a2，c2a
2.离心率e，由统一定义AF1ed1，BF1ed2，AF1BF1aed1d2，a1，椭圆方程为x
21.类型二圆锥曲线统一定义的应用命题角度1求有关最值问题例2已知A4,0，B2,2是椭圆1内的两个点，M是椭圆上的动点1求MAMB的最大值和最小值；2求MBMA的最小值及此时点M的坐标解1如图所示，由1得a5，b3，c
4.所以A4,0为椭圆的右焦点，F4,0为椭圆的左焦点因为MAMF2a10，所以MAMB10MFM
B.因为|MBMF|BF2，所以2MBMF
2.故102MAMB102，即MAMB的最大值为102，最小值为102.2由题意得椭圆的右准线l的方程为x.由图可知点M到右准线的距离为MM，由圆锥曲线的统一定义得e，所以MAMM.所以MBMAMBMM.由图可知当B，M，M三点共线时，MBMM最小，即BM
2.当y2时，由1，解得x负值舍去，即点M的坐标为.故MBMA的最小值为，此时点M的坐标为.反思与感悟1
解答此类题时，应注意式子中的系数特点，依此恰当地选取定义2圆锥曲线的统一定义，可以灵活地将曲线上点到焦点的距离与到相应准线的距离进行转化，从而简化解题过程跟踪训练2试在抛物线y24x上求一点A，使点A到点B，2与到焦点的距离之和最小解由已知易得点B在抛物线内，1，准线方程为x1，过点B作CB准线l于C，直线BC交抛物线于A，则ABAC为满足题设的最小值因为CBx轴，B点的坐标为，2，所以A点的坐标为x,2又因点A在抛物线上，所以A1,2即为所求A点，此时最小值为BC
1.命题角度2焦点弦问题例3椭圆C的一个焦点为F12,0，相应准线方程为x8，离心率e.1求椭圆的方程；2求过另一个焦点且倾斜角为45的直线截椭圆C所得的弦长解1设椭圆上任一点Px，y，由统一定义得，两边同时平方，得4x22y28x2，化简得
1.2由1知椭圆的另一个焦点F22,0，过F2且倾斜角为45的直线方程为yx2，代入方程1，得