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§33多維随机变量函数分布

3.3多维随机变量函数的分布
一、多维离散随机变量函数的分布
以二维为例讨论，设二维随机变量的取值为随机变量
的取值为.令，则
例3.3.2（泊松分布的可加性）设且与相互独立．证明
证明：略．
注证明过程用到离散场合下的卷积公式，这里卷积指“寻求两个独立随机变量和的分布运算”，对有限个独立泊松变量有
例3.3.3（二项分布的可加性）设且与相互独立．证明
证明略．
注：（1）该性质可以推广到有限个场合
（2）特别当时，
这表明，服从二项分布的随机变量可以分解成个相互独立的0-1分布的随机变量之和．
二、最大值与最小值的分布
例3.3.4（最大值分布）设是相互独立的个随机变量，若设在以下情况求的分布：
（1）
（2）同分布，即
（3）为连续随机变量，且同分布，即的密度函数为
（4）
解略．
注这道题的解法体现了求最大值分布的一般思路．
例3.3.5（最小值分布）设是相互独立的个随机变量；若，试在以下情况下求的分布：
（1）
（2）同分布，即
（3）为连续随机变量，且同分布，即的密度函数为
（4）
解略．
注这道例题的解法体现了求最小值分布的一般思路．
三、连续场合的卷积公式
定理3.3.1设与是两个相互独立的连续随机变量，其密度函数分别为、，则其和的密度函数为
证明略．
本定理的结果就是连续场合下的卷积公式．
例3.3.6（正态分布的可加性）
设且与相互独立．证明
证明略
注任意n个相互独立的正态变量的非零线性组合仍是正态变量．
四、变量变换法
1、变量变换法
设的联合密度函数为，函数有连续偏导数，且存在唯一的反函数，其变换的雅可比行列式
若则的联合密度函数为
这个方法实际上就是二重积分的变量变换法，其证明可参阅数学分析^p教科书．
例3.3.9设与独立同分布，都服从正态分布
，记
试求的联合密度函数．是否相互独立？
解略．
2、增补变量法
增补变量法实质上是变换法的一种应用：为了求出二维连续随机变量的函数的密度函数，增补一个新的随机变量，一般令或．先用变换法求出的联合密度函数，再对关于v积分，从而得出关于的边际密度函数．
例3.3.10（积的公式）设与相互独立，其密度函数分别为和.则的密度函数为
证略．
例3.3.11（商的公式）设与相互独立，其密度函数分别为和，则的密度函数为
证略．
注例3.3.10和例3.3.11的结果可以直接用来解题．